[논문 리뷰] Rotation numbers for planar attractors of equivariant homeomorphisms

Begoña Alarcón|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 점점 안정한 고정점과 무리수 회전 수를 가지며, 평면 위에서 $ζ_m$-등변성, 방향 유지, 소산성인 호메오모르피즘을 구축한다. 대칭 설정으로의 Denjoy 사상 구축 기법을 응용하여, 원환면의 극단 원점의 집합 위에서 $ζ_m$-등변성 Denjoy 사상을 유도하는 그런 사상의 존재를 증명함으로써, $ζ_m$-대칭성이 반드시 유리수 회전 수를 유도하지는 않음을 보이며, 이는 이전에 예상된 대칭 시스템 내의 유리수 성향을 반박한다.

ABSTRACT

Given an integer m>1 we consider Zm-equivariant and orientation preserving homeomorphisms in the plane with an asymptotically stable fixed point at the origin. We present examples without periodic points and having some complicated dynamical features. The key is a preliminary construction of Zm-equivariant Denjoy maps of the circle.

연구 동기 및 목표

• 평면 내에서 $ζ_m$-등변성 동역학이 반드시 유리수 회전 수를 유도하는가를 조사하여, 대칭성이 유리수 성향을 유도한다는 가정을 도전한다.
• 평면에서의 Denjoy 사상 이론을 확장하기 위해 원 위에서 $ζ_m$-등변성 Denjoy 사상을 구성함으로써 대칭 설정으로의 이론 확장을 도모한다.
• 원점에서 점점 안정한 고정점과 무리수 회전 수를 가지며, 고정점 외에 주기점이 없는 $ζ_m$-등변성, 소산성 평면 호메오모르피즘의 존재를 보여준다.
• 평면 호메오모르피즘의 $ζ_m$-대칭성 조건 하에서 회전 수가 반드시 유리수일 필요가 없음을 보이며, 고정점이 점점 안정한 경우에도 마찬가지로 성립함을 보인다.

제안 방법

• 최소 칸토어 집합 $C$ 가 $2\pi/m$ 만큼의 회전에 관해 불변이 되도록 보장함으로써 원 위에서 $ζ_m$-등변성 Denjoy 사상을 구성한다.
• 극단 원점 이론을 활용하여, 비유계이고 적절한 흡인 영역을 가지는 평면 호메오모르피즘에 대해 회전 수를 부여한다.
• 극좌표에서 $\theta_1 = f(\theta)$ 및 $\rho_1 = R(\theta, \rho)$ 를 통해 평면 호메오모르피즘 $h$ 를 정의한다. 여기서 $f$ 는 대칭성 있는 Denjoy 사상이고, $R$ 은 반경 수축 함수이다.
• $\theta \mapsto \theta + 1/m$ 에 대해 $\Pi(\theta)$ 가 불변이 되도록 하여 $R(\theta, \rho)$ 가 $\u03b6_m$-등변성이 되도록 보장한다.
• $f(\theta + k/m) = f(\theta) + k/m$ 와 $\Pi(\theta + k/m) = \Pi(\theta)$ 를 모든 $k = 0, \dots, m-1$ 에 대해 확인함으로써 $h$ 가 $\u03b6_m$-등변성임을 증명한다.
• 논문 [3] 의 결과를 활용하여 원 위의 Denjoy 사상은 동일한 회전 수를 가지는 적절한 평면 호메오모르피즘으로 올릴 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Can $ζ_m$-equivariant planar homeomorphisms have irrational rotation numbers?
• RQ2 Does the presence of $ζ_m$-symmetry necessarily lead to rational rotation numbers in dissipative systems?
• RQ3 Can a Denjoy-type dynamics with a minimal Cantor set be constructed in a way that commutes with $\u03b6_m$-rotations?
• RQ4 Is it possible to construct a $ζ_m$-equivariant planar homeomorphism with an asymptotically stable fixed point and no periodic points other than the origin?

주요 결과

• 논문은 원 위에서 최소 칸토어 집합이 $2\pi/m$ 만큼의 회전에 대해 불변인 $ζ_m$-등변성 Denjoy 사상을 구성한다.
• 원점에서 점점 안정한 고정점과 무리수 회전 수를 가지며, $ζ_m$-등변성, 소산성, 방향 유지 성질을 갖는 평면 호메오모르피즘의 존재를 증명한다.
• 극단 원점의 공간에 유도된 사상은 $ζ_m$-등변성 Denjoy 사상과 위상적으로 동형이며, 대칭성이 극단 원점의 구조에 그대로 유지됨을 확인한다.
• 구성된 호메오모르피즘은 대칭성에도 불구하고 고정점 외에 주기점이 없으며, Denjoy 사상에 의해 복잡한 동역학을 나타낸다.
• 대칭성에 의해 $ζ_m$-등변성 조건이 회전 수를 반드시 유리수로 제한하지 않으며, 이는 이러한 대칭성이 반드시 유리수 성향을 유도한다는 기대와 모순된다.