[논문 리뷰] Rough differential equations on Besov spaces

David J. Prömel, Mathias Trabs|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 허더링에서 일반 베소프 공간으로 파라컨트롤리드 분포 접근법을 확장하여, 이러한 더 넓은 함수 공간에 속하는 신호에 대한 난류 미분 방정식(RDEs)의 해를 가능하게 한다. 주요 기여는 허더링 및 p-변동 설정을 모두 포함하는 통합된 프레임워크를 제공함으로써, 베소프 위상에서 랜덤 함수와 가우시안 과정에 의해 구동되는 경로 기반(stochastic differential equations)의 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Rough differential equations are solved for signals in general Besov spaces unifying in particular the known results in Holder and p-variation topology. To this end the paracontrolled distribution approach, which has been introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski [18] to analyze singular stochastic PDEs, is extended from Holder to Besov spaces. As an application we solve stochastic differential equations driven by random functions in Besov spaces and Gaussian processes in a pathwise sense.

연구 동기 및 목표

• 허더링 공간에서 일반 베소프 공간으로 파라컨트롤리드 분포 방법을 일반화하기.
• 다양한 정규성 영역에서 난류 미분 방정식에 대한 통합된 해이론 수립.
• 베소프 공간에서 랜덤 신호에 의해 구동되는 확률 미분 방정식의 경로 기반 해를 구하기.
• 이상한 SPDE 기법의 적용 범위를 더 넓은 불규칙한 신호 클래스로 확장하기.

제안 방법

• 원래 이상한 확률 편미분방정식을 위해 개발된 파라컨트롤리드 분포 프레임워크를 일반 베소프 공간의 함수에 적용하기.
• 비선형 상호작용을 분해하고 통제하기 위해 파라프로덕트와 파라디퍼렌셜 미적분을 사용하기.
• 신호를 정규 및 특이 부분으로 분해함으로써 파라컨트롤리드 구조를 기반으로 RDE의 해의 개념 정의하기.
• 해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 베소프 노름에서 사전 추정치 확립하기.
• 가우시안 과정과 베소프 공간의 랜덤 함수에 이 방법 적용하여 경로 기반 해 달성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라컨트롤리드 분포 방법은 허더링에서 일반 베소프 공간으로 확장되어 난류 미분 방정식을 해결할 수 있는가?
• RQ2 베소프 공간에서 RDE의 해이론은 이전에 알려진 허더링 및 p-변동 설정의 결과를 어떻게 통합하는가?
• RQ3 베소프 공간의 구동 신호에 대해 어떤 조건이 RDE의 경로 기반 해의 존재성과 유일성을 보장하는가?
• RQ4 가우시안 과정이나 베소프 공간의 랜덤 함수에 의해 구동되는 확률 미분 방정식은 이 프레임워크를 통해 경로 기반으로 해를 구할 수 있는가?

주요 결과

• 파라컨트롤리드 분포 접근법이 허더링에서 일반 베소프 공간으로 성공적으로 확장되어 난류 미분 방정식에 대한 더 넓은 해이론을 가능하게 한다.
• 프레임워크는 이전에 알려진 허더링 및 p-변동 위상의 결과를 통합하여 공통적인 분석적 기반을 제공한다.
• 랜덤 함수와 가우시안 과정에 의해 구동되는 확률 미분 방정식의 경로 기반 해가 확립된다.
• 구동 신호에 대한 적절한 베소프 노름 조건 하에서 해의 존재성과 유일성이 보장된다.