[논문 리뷰] Rough sets and three-valued structures

Luisa Iturrioz|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 19.

Rough Sets and Fuzzy Logic참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 근사공간 내의 하한 및 상한 근사화가 삼가oz치 Łukasiewicz 대수로의 준동형사상(induce a homomorphism)을 유도함으로써, 날카로운 집합과 삼가oz치 Łukasiewicz 대수 사이의 강력한 대수적 연결을 확립한다. 주요 기여는 날카로운 집합이 손실 없는 구조 보존 사상에 의해 이러한 대수로 충실하게 임bedded될 수 있음을 증명하는 표현 정리이며, Monteiro의 구성에 의해 소속 함수가 대수적 연산으로 일관되게 확장된다.

ABSTRACT

In recent years, many papers have been published showing relationships between rough sets and some lattice theoretical structures. We present here some strong relations between rough sets and three-valued Łukasiewicz algebras.

연구 동기 및 목표

• 날카로운 집합의 배경이 되는 대수적 구조와 다가oz치 논리와의 관계를 탐색한다.
• 날카로운 집합 이론과 삼가oz치 Łukasiewicz 대수 사이의 공식적 연결을 수립한다.
• 단조적 불리 대수와 동치 관계를 사용하여 날카로운 집합의 소속 함수를 대수적 연산으로 확장한다.
• 날카로운 집합 프레임워크가 삼가oz치 Łukasiewicz 논리의 대수적 의미론 내에서 표현될 수 있음을 증명한다.

제안 방법

• 정보 체계 내의 구분 불가능성 관계를 사용하여 개체의 멱집합 위에 단조적 불리 대수를 생성한다.
• Monteiro의 구성에 따라 하한 및 상한 근사화를 기반으로 멱집합 위에 동치 관계 ≡를 정의한다.
• 몫 대수 위에 새로운 연산 ∩dot 및 ⊕를 정의하여 삼가oz치 Łukasiewicz 대수를 형성한다.
• 몫 대수에서 삼가oz치 Łukasiewicz 대수의 극소 필터 집합으로의 사상 h를 구성하며, 이가 준동형사상임을 보인다.
• Moisil 결정 원리를 사용하여 사상 h가 단사임을 증명함으로써 충실한 표현을 보장한다.
• 값에 대한 최대 및 최소 연산을 사용하여 소속 함수 μ_A: Ob → {0, 1/2, 1}을 연산 ∩dot, ⊕ 및 ¬로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 날카로운 집합은 삼가oz치 Łukasiewicz 대수로 대수적으로 임베딩될 수 있는가?
• RQ2 하한 및 상한 근사화의 연산은 Łukasiewicz 논리의 연결사와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 날카로운 집합의 소속 함수를 대수적 연산으로 일관되게 확장할 수 있는가?
• RQ4 단조적 불리 대수의 구조는 동치 관계를 통해 Łukasiewicz 대수를 생성하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 몫 대수 P(Ob)/≡에서 삼가oz치 Łukasiewicz 대수의 극소 필터 집합으로의 사상 h는 잘 정의된 준동형사상이다.
• 준동형사상 h는 단사적임을 증명하여, 날카로운 집합이 삼가oz치 Łukasiewicz 대수로 충실하게 표현될 수 있음을 보여준다.
• 소속 함수 μ_A는 값에 대한 최대 및 최소 연산을 사용하여 ∩dot 및 ⊕로 일관되게 확장될 수 있다.
• 모든 x ∈ Ob에 대해 λ_{A⊕B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x))를 만족한다.
• 몫 대수 위의 연산 ∩dot 및 ⊕는 M(A∩dot B) = MA ∩ MB 및 M(A⊕B) = MA ∪ MB 를 만족한다.
• 몫 체계 (P(Ob)/≡, ∩dot, ⊕, ∼, ▽, 1)의 대수적 구조는 삼가oz치 Łukasiewicz 대수와 동형이다.