[논문 리뷰] Rough volatility, path-dependent PDEs and weak rates of convergence

Ofelia Bonesini, Antoine Jacquier외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 06.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 러프 볼라티리티 모델에서의 조건부 기대값이 기능적 Itô 공식을 통해 유도된 경로에 의존하는 편미분방정식(PDE)의 유일한 고전적 해임을 입증한다. 이는 H ∈ (0, 1/2)인 스토크라스틱 볼테라 방정식에서 이차형 테스트 함수에 대해 수준 1의 약한 수렴 속도와 부드러운 함수에 대해 H + 1/2의 약한 수렴 속도를 도출하며, 러프 볼라티리티 하에서 수치적 가격 설정의 핵심 과제를 해결한다.

ABSTRACT

In the setting of stochastic Volterra equations, and in particular rough volatility models, we show that conditional expectations are the unique classical solutions to path-dependent PDEs. The latter arise from the functional Itô formula developed by [Viens, F., & Zhang, J. (2019). A martingale approach for fractional Brownian motions and related path dependent PDEs. Ann. Appl. Probab.]. We then leverage these tools to study weak rates of convergence for discretised stochastic integrals of smooth functions of a Riemann-Liouville fractional Brownian motion with Hurst parameter $H \in (0,\frac{1}{2})$. These integrals approximate log-stock prices in rough volatility models. We obtain the optimal weak error rates of order $1$ if the test function is quadratic and of order $(3H+\frac{1}{2})\wedge1$ if the test function is five times differentiable; in particular these conditions are independent of the value of $H$.

연구 동기 및 목표

• 러프 볼라티리티 모델에서의 조건부 기대값과 경로에 의존하는 PDE의 고전적 해 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• H ∈ (0, 1/2)인 Riemann–Liouville 분수 차수 브라운 운동의 이산화된 스토크라스틱 적분에 대한 약한 수렴 속도를 분석하는 것.
• 강한 수렴 속도가 매우 느려서 적용이 곤란한 상황에서 러프 볼라티리티 모델의 수치적 방법에서 약한 수렴 속도의 열린 문제를 해결하는 것.
• 러프 볼라티리티 하에서 옵션 가격 설정 응용에 대한 정량적 약한 오차 경계를 제공하며, 히어스트 매개변수 H에 명시적인 의존성을 포함하는 것.

제안 방법

• 유한한 이차 변동성을 갖는 확률과정에 대해 기능적 Itô 공식을 적용하여 조건부 기대값에 대한 경로에 의존하는 PDE 표현을 유도한다.
• 분수 차수 브라운 운동을 갖는 스토크라스틱 볼테라 방정식(SVEs)에 기능적 Itô 미적분을 적용하여 비 마코프 성질을 갖는 PDE와 연결한다.
• 말리아빈 미적분과 위너 혼합 전개를 활용하여 약한 오차를 말리아빈 도함수 항과 혼합 계수로 분해한다.
• 반복적 커널과 혼합 전개 계수에 대한 명시적 경계를 사용하여 약한 수렴 분석에서 오차 항을 제어한다.
• BDG 유형 부등식과 Riemann–Liouville 분수 차수 브라운 운동의 공분산 구조에 대한 추정을 적용하여 수렴 속도를 도출한다.
• 오차 항의 점진적 분석을 수행하여 오일러 스킴의 미분 항과 확산 항에서 기인한 항들을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H ∈ (0, 1/2)인 러프 볼라티리티 모델에서 로그 가격 과정에 대한 오일러 스킴의 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 러프 볼라티리티 모델에서의 조건부 기대값은 경로에 의존하는 PDE의 고전적 해로 특징지을 수 있는가?
• RQ3 수익 함수의 정(regularity)과 히어스트 매개변수 H가 함께 약한 오차 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 약한 오차가 테스트 함수 φ의 스무스함과 볼라티리티 함수 ψ에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 이차형 테스트 함수에 대해 약한 수렴 속도는 수준 1이며, 이는 강한 수렴 속도 H보다 훨씬 높다.
• 부드러운 테스트 함수에 대해 약한 수렴 속도는 H + 1/2이며, 이는 강한 수렴 속도를 향상시키며 주어진 가정 하에서 최적이다.
• 러프 볼라티리티 모델에서의 조건부 기대값은 기능적 Itô 공식으로부터 도출된 경로에 의존하는 PDE의 유일한 고전적 해이다.
• 분석은 약한 오차를 말리아빈 도함수 항과 혼합 전개 계수로 분해하며, 각 항은 명시적 커널 추정을 통해 경계된다.
• H + 1/2의 수렴 속도는 φ와 ψ에 대한 미약한 정규성 조건 하에서 확립되며, 이는 φ ∈ ℂ_p^{2+⌈1/(2H)⌉}를 포함한다.
• 결과는 H가 작을 경우에도 몬테카를로 시뮬레이션을 사용할 수 있음을 정당화하며, 약한 오차가 강한 수렴 속도와 무관하게 감소함을 보여준다.