[논문 리뷰] Roughness of level sets of differentiable maps on Heisenberg group

Artem Kozhevnikov|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 17.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수직 미분이 전사이지만 분리되지 않는 $ C^1_H $ 매핑 $ F: \mathbb{H}^1 \to \mathbb{R}^2 $ 의 수준집합의 척도 성질을 조사한다. 이러한 수준집합은 $ \varepsilon $-Reifenberg 평탄하고, $ C^1_H $ 매핑의 수준집합은 $ \mathbb{H}^1 $ 에서의 수직 미분의 전사성 조건을 만족함에도 불구하고 비정규적일 수 있으며, 하우스도르프 차원이 2인 부분리만노프 척도에서 정의된 하우스도르프 차원은 $[1,2]$ 범위에서 변동 가능하다. 또한 $ d_\infty $-거리의 이산합을 통한 부분리만노프 면적에 대한 정확한 공식을 도출한다.

ABSTRACT

We investigate metric properties of level sets of horizontally differentiable maps defined on the first Heisenberg group $(\Bbb{H}^1,d_{cc})$ equipped with the standard sub-Riemannian structure. In particular, we present an exhaustive analysis in a new case of a map $F\in C^1_H(\Bbb{H}^1, \Bbb{R}^2)$ with surjective horizontal differential (an analogue of the classical implicit function theorem). Among other results, we show that a level set of such map is locally a simple curve of Hausdorff sub-Riemannian dimension 2, but, surprisingly, in general its two-dimensional Hausdorff measure can be zero or infinity. Therefore, those level sets (called extsf{vertical curves}) can be of rough nature and not belong to the class of intrinsic regular manifolds.

연구 동기 및 목표

• 헤이젠베르크 군 $ \mathbb{H}^1 $ 상의 $ C^1_H $ 매핑의 수준집합 기하학적 및 척도적 구조를 이해하기 위해, 가로 미분이 전사이지만 분리되지 않는 경우를 대상으로 한다.
• 이러한 수준집합의 정규성과 차원을 부분리만노프 척도와 유클리드 척도에서 모두 조사한다.
• 수준집합의 부분리만노프 하우스도르프 측도 $ \mathcal{H}^2_\infty $ 에 대한 공식을 $ d_\infty $-거리의 이산 근사에 기반하여 수립한다.

제안 방법

• 군의 분할이 불가능한 성질을 핵심 장벽으로 삼아, $ \mathbb{H}^1 $ 상에서의 가로 미분 $ D_hF $ 의 내재적 미분 가능성과 전사성을 분석한다.
• Reifenberg 평탄성의 적용을 통해 $ F^{-1}(0) $ 의 국소 기하학을 특성화하며, 작고 작은 척도에서 $ \varepsilon \to 0 $ 이 균일하게 성립함을 보인다.
• 준거리 구조와 수준집합 상의 $ d_\infty $-거리 구조를 사용하여, 이산합을 통한 부분리만노프 면적의 정의 및 계산을 수행한다.
• 수준집합의 부분리만노프 면적에 대한 공식 유도를 위해, $ \sum d_\infty(A_i, A_{i+1})^2 $ 의 극한을 활용하며, 이는 내재된 면적 측도와 관련된다.
• 수직 곡선을 수준집합으로 삼아, 아흐르포르스 정규성과 스티엘티지 유형 적분을 통한 정규성 분석을 수행한다.
• 공백 급수와 거친 경로 끌어올리기 기법을 사용하여, 유럽형 차원이 변동 가능한 예제를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가로 미분 $ D_hF $ 가 전사이지만 분리되지 않는 $ C^1_H $ 매핑 $ F: \mathbb{H}^1 \to \mathbb{R}^2 $ 의 수준집합 $ F^{-1}(0) $ 이 부분리만노프 척도에서 비정규적일 수 있는가, 즉 Reifenberg 평탄성은 유지되더라도 말이다?
• RQ2 이러한 수준집합의 부분리만노프 하우스도르프 차원과 유클리드 하우스도르프 차원 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 수준집합의 부분리만노프 면적에 대한 이산 공식이 성립하는가? 즉, 분할에 따른 $ d_\infty $-거리의 제곱합의 극한 형태로 표현되는가?
• RQ4 수준집합이 아흐르포르스 정규가 되는 조건은 무엇이며, 이는 면적 공식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수준집합이 부분리만노프 차원 2를 유지하면서도 유클리드 하우스도르프 차원이 $[1,2]$ 범위 내에서 임의로 취할 수 있는가?

주요 결과

• 수준집합 $ \Gamma = F^{-1}(0) \cap U $ 는 원점 근방의 이웃 $ U $ 에서 $ \varepsilon $-Reifenberg 평탄하며, 척도가 세분화될수록 $ \varepsilon \to 0 $ 이 된다.
• 집합 $ \Gamma $ 는 부분리만노프 차원 2인 단순한 호(수직 곡선)이며, 즉 $ \dim_h \Gamma = 2 $ 이다.
• 유클리드 하우스도르프 차원은 공백 급수를 사용한 예제를 통해 $[1,2]$ 범위 내에서 임의의 값을 가질 수 있다.
• 부분리만노프 면적 $ \mathcal{H}^2_\infty(\Gamma) $ 는 극한 $ \frac{1}{2} \mathcal{S}^2_\infty(\Gamma) = \liminf_{\|\sigma\| \to 0} \sum_{\sigma} d_\infty(A_i, A_{i+1})^2 $ 으로 주어지며, 여기서 $ \sigma $ 는 $ \Gamma $ 의 분할이다.
• 만약 $ F \in C^{1,\alpha}_H $ 이고 $ \alpha > 0 $ 이면, $ \Gamma $ 는 아흐르포르스 정규이며, 면적 공식은 스티엘티지 적분 형태로 표현될 수 있다: $ \mathcal{H}^2_\infty(\Gamma) = \frac{1}{2} \int_\Gamma dz + 2 \int_\Gamma x\,dy - 2 \int_\Gamma y\,dx $.
• 수준집합은 $ \mathbb{H}^1 $-정규 부분다양체가 아니며, 이는 가로 미분의 분리가 불가능할 경우 내재적 정규성이 실패함을 보여준다.