[논문 리뷰] Round fold maps and the topologies and the differentiable structures of manifolds admitting explicit ones

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 둥근 접선 맵—동심의 특이값 구역을 가진 안정적인 접선 맵—의 연구를 발전시켜, 이러한 맵을 갖는 다양체의 위상구조와 미분구조를 특성화한다. 이는 특정한 역상 및 번들의 구조를 갖는 닫힘과 연결된 다양체가 구 위에 올라간 거의-구 모양의 섬유를 가진 매끄러운 번들의 연결합과 미분형태가 같음을 보여주며, 미분위상수학에서 알려진 특수 일반성 및 접선 맵의 분류 결과를 더 넓은 둥근 접선 맵의 범주로 일반화한다.

ABSTRACT

Stable fold maps are fundamental tools in a generalization of the theory of Morse functions on smooth manifolds and its application to studies of geometric properties of smooth manifolds. Round fold maps were introduced as stable fold maps such that the sets of all of the singular values of them are concentric spheres by the author in 2013-4. Topological properties of such maps and topological information of their source manifolds such as homology and homotopy groups have been studied under appropriate conditions by the author. In this paper, we redefine round fold maps respecting the definition. As more precise information of manifolds admitting round fold maps, we study the topologies and differentiable structures of manifolds admitting such maps under appropriate differential topological conditions.

연구 동기 및 목표

• 둥근 접선 맵을 갖는 매끄러운 다양체의 위상적 및 미분구조를 특성화하는 것.
• 특수 일반성 및 접선 맵에 대한 알려진 분류 결과를 더 넓은 둥근 접선 맵의 범주로 확장하는 것.
• 다양체가 거의-구 모양의 섬유를 가진 번들의 연결합으로 표현될 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 리브 공간과 정규형이 둥근 접선 맵의 전반적 구조를 이해하는 데 어떻게 기여하는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 특이 집합이 표준 구의 서로소 합집합이고, 특이값 집합이 동심의 구가 되도록 둥근 접선 맵을 재정의한다.
• 리브 공간 구조를 사용하여 둥근 접선 맵의 전반적 구조를 분석하고, 이와 원천 다양체의 위상구조를 연결한다.
• 기존 맵을 바탕으로 새로운 둥근 접선 맵을 구성하기 위해 정규적 코어를 따라 분할하는 등의 표준 분해 연산을 적용한다.
• 에르헤스만의 번들 정리( fibre theorem)를 활용하여, 링형 영역 위의 특정 역상 영역이 기저가 링형 영역이고 섬유가 실린더 또는 구멍이 난 디스크와 미분형태가 같은 평탄한 매끄러운 번들임을 보여준다.
• 섬유가 거의-구(예: $S^{m-n}$ 또는 $S^{m-n} \times [-1,1]$에서 디스크를 제거한 것)인 구 위에 올라간 매끄러운 번들의 총공간에서 둥근 접선 맵을 구성한다.
• 코르올라리 1과 정리 10을 이용한 귀납적 구성 방법을 활용하여, 이러한 번들의 연결합 위에 둥근 접선 맵을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 값의 역상이 서로소인 표준 구의 합집합을 이루는 둥근 접선 맵을 갖는 다양체에서 발생하는 위상적 및 미분구조는 무엇인가?
• RQ2 닫힌 다양체가 구 위에 올라간 거의-구 모양의 섬유를 가진 번들의 연결합과 미분형태가 같아지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 둥근 접선 맵의 리브 공간과 정규형이 원천 다양체의 전반적 위상구조에 어떻게 제약을 가하는가?
• RQ4 정칙 값의 역상 내의 연결 성분 수와 연결합 분해에서의 합성 성분 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 표준 구 또는 특수 일반성 맵이 아닌 다양체, 특히 고차원에서 둥근 접선 맵을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 닫힘과 연결된 $m$-차원 다양체 $M$가 정칙 값의 역상이 서로소인 표준 구의 합집합이 되는 둥근 접선 맵 $f: M \to \mathbb{R}^n$을 갖는다 하면, $M$은 차원 $m-n$의 거의-구 섬유를 가진 $S^n$ 위에 올라간 $l-1$개의 매끄러운 번들의 연결합과 미분형태가 같고, 그 조건이 유일하다.
• 특이 집합의 이미지 외부에 있는 $q_f$의 각 성분의 역상이 $S^{m-n}$과 미분형태가 같음을 보장할 때, 표준 구가 아닌 섬유를 가진 번들의 수는 최소 $l-1-k$개 이상이어야 하며, 여기서 $k$는 $k \leq l/2$를 만족하는 최대 정수이다.
• $m \geq 2n$ 인 경우, 다양체 $M$이 정리 12의 조건 (a)–(c)를 만족하는 둥근 접선 맵을 갖는다 하면, $M$은 $l-1$개의 거의-구 섬유를 가진 $S^n$ 위의 번들의 연결합과 미분형태가 같고, 섬유의 구조는 역상 내의 성분 수에 의해 결정된다.
• 목표 공간 $\mathbb{R}^n$ 내의 각 링형 영역의 역상은 기저가 링형 영역이고, 섬유가 표준 디스크 $D^{m-n+1}$의 내부를 제거한 $S^{m-n} \times [-1,1]$과 미분형태가 같은 평탄한 매끄러운 번들이다.
• 이러한 맵의 리브 공간 $W_f$는 특이 집합의 이미지 외부에 위치한 성분의 역상이 $S^{m-n}$과 미분형태가 같음을 보장한다.
• 정칙 값의 역상이 섬유의 두 복제본의 합집합이 되는 조건을 만족할 경우, $S^{m-n}$-번들에 대한 총공간 위에 둥근 접선 맵을 구성할 수 있으며, 이는 특수 일반성 맵을 일반화한다.