[논문 리뷰] Routing and Sorting Via Matchings On Graphs

Avah Banerjee, Dana Richards|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 18.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프에서 매칭을 통한 순열 라우팅 및 정렬을 조사하며, 임의의 연결 그래프에서 최대 두 단계 내에 라우팅이 가능할지 여부를 결정하는 다항식 시간 알고리즘을 제안한다. 또한 k≥3일 때 ≤k단계 내 라우팅을 결정하는 것은 NP-완전임을 증명하고, 최대 차수 Δ인 트리에 대해 O(min(Δ²n, n²))의 깊이를 갖는 정렬 네트워크를 구축하며, 특정 트리 인스턴스에 대해 이는 최적임을 보인다.

ABSTRACT

The paper is divided in to two parts. In the first part we present some new results for the extit{routing via matching} model introduced by Alon et al\cite{5}. This model can be viewed as a communication scheme on a distributed network. The nodes in the network can communicate via matchings (a step), where a node exchanges data with its partner. Formally, given a connected graph $G$ with vertices labeled from $[1,...,n]$ and a permutation $π$ giving the destination of pebbles on the vertices the problem is to find a minimum step routing scheme. This is denoted as the routing time $rt(G,π)$ of $G$ given $π$. In this paper we present the following new results, which answer one of the open problems posed in \cite{5}: 1) Determining whether $rt(G,π)$ is $\le 2$ can be done in $O(n^{2.5})$ deterministic time for any arbitrary connected graph $G$. 2) Determining whether $rt(G,π)$ is $\le k$ for any $k \ge 3$ is NP-Complete. In the second part we study a related property of graphs, which measures how easy it is to design sorting networks using only the edges of a given graph. Informally, extit{sorting number} of a graph is the minimum depth sorting network that only uses edges of the graph. Many of the classical results on sorting networks can be represented in this framework. We show that a tree with maximum degree $Δ$ can accommodate a $O(\min(nΔ^2,n^2))$ depth sorting network. Additionally, we give two instance of trees for which this bound is tight.

연구 동기 및 목표

• 일반 그래프에서 매칭을 통한 라우팅의 계산 복잡도에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• k ≥ 2일 때 라우팅 시간 rt(G,π) ≤ k의 계산 가능성을 규명하기 위해.
• 주어진 그래프의 간선만을 사용하는 정렬 네트워크의 최소 깊이를 연구하기 위해.
• 최대 차수 Δ에 기반해 트리의 정렬 네트워크 깊이에 대한 날카운 경계를 확립하기 위해.
• 그래프 기반 모델에서 라우팅 시간과 정렬 네트워크 깊이 사이의 관계를 탐구하기 위해.

제안 방법

• 보조 그래프에서 완벽 매칭 탐지 문제로 문제를 환원하여, O(n².⁵) 시간 내에 rt(G,π) ≤ 2인지 여부를 판별하는 결정적 알고리즘을 제안한다.
• 순열의 순환 분해를 활용해 2단계 내 개별 및 상호 라우팅 가능성을 분석한다.
• 서브트리에서의 순차적 홀짝 교환 절차를 활용한 구축적 접근을 통해 트리에서 정렬 네트워크를 구성한다.
• 단계 기반 정렬 알고리즘인 OddEvenTreeSort를 도입하여, 인접한 서브트리를 교환하고 페블 이동을 추적한다.
• 정렬에 필요한 단계 수를 유 bounds하기 위해 재귀 관계 C(n) ≤ C(n/2) + O(min(Δ²n, n²))를 유도한다.
• 서브트리 간 페블 교환에 대한 경계와 트리 분해 성질을 활용하여 O(min(Δ²n, n²)) 깊이 경계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 연결 그래프 G와 순열 π에 대해 rt(G,π) ≤ 2 여부를 다항식 시간 내에 결정할 수 있는가?
• RQ2 k ≥ 3일 때 rt(G,π) ≤ k 여부를 결정하는 문제는 NP-완전한가?
• RQ3 주어진 그래프 G의 간선만을 사용하는 정렬 네트워크의 최소 깊이는 얼마인가?
• RQ4 트리의 최대 차수 Δ에 기반해 정렬 네트워크 깊이를 경계할 수 있는가?
• RQ5 트리에서 정렬 네트워크에 대해 O(Δn) 깊이를 달성하는 구성이 가능한가?

주요 결과

• 임의의 연결 그래프 G에 대해 rt(G,π) ≤ 2 여부는 O(n².⁵) 결정적 시간 내에 해결 가능하다.
• k ≥ 3일 때 rt(G,π) ≤ k 여부를 결정하는 문제는 NP-완전하다.
• 최대 차수 Δ인 트리는 O(min(Δ²n, n²))의 깊이를 갖는 정렬 네트워크를 갖는다.
• 이 경계는 경로 그래프 Pₙ 및 별 그래프 K₁,ₙ₋₁와 같은 특정 트리 인스턴스에 대해 최적이다.
• OddEvenTreeSort 알고리즘은 MP 순서에 따라 임의의 입력에 대해 O(min(Δ²n, n²))의 단계를 달성한다.
• 재귀 관계 C(n) ≤ C(n/2) + O(min(Δ²n, n²))는 임의의 트리에 대해 정렬 네트워크 깊이가 O(min(Δ²n, n²)) 이하로 경계됨을 시사한다.