[논문 리뷰] Rozansky-Witten invariants via Atiyah classes

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|1997. 04. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 초케일러 다양체에 대한 Rozansky-Witten 불변량을 접속의 군대가 아니라 접속의 아티야 클래스를 사용하여 재구성하며, 이러한 불변량이 호모토피에 의한 리 대수의 구조에 의해 결정되는 공호모로지 연산으로부터 유래됨을 보여준다. 주요 기여는 임의의 켈러 계량(초케일러 계량이 아니어도 가능)을 사용하여 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 불변량을 공호모로지적으로 기술하는 것이다. 이는 전체 초케일러 구조를 요구하지 않고도 명시적인 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Recently, L.Rozansky and E.Witten (hep-th/9612216) associated to any hyperKaehler manifold X a system of "weights" (numbers, one for each trivalent graph) and used them to construct invariants of topological 3-manifolds. We give a very simple cohomological definition of these weights in terms of the Atiyah class of X (the obstruction to existence of a holomorphic connection). We show that the analogy between the tensor of curvature of a hyperKaehler metric and the tensor of structure constants of a Lie algebra observed by Rozansky and Witten, holds in fact for any complex manifold, if we work on the level of cohomology and for any Kaehler manifold, if we work on the level of Dolbeault forms. In particular, for any sheaf A of commutative algebras on any complex manifold the shifted cohomology of the tangent sheaf tensored with A is a graded Lie algebra. We also show that a certain system of Gilkey-type complexes of "natural tensors" on Kaehler manifolds is, up to suspension (accounting for various changes of signs), identified with the PROP (in the sense of Adams and MacLane) describing Lie algebras "up to higher homotopies". As an outcome of our considerations, we give a formula for the Rozansky-Witten classes using any Kaehler metric on a holomorphic symplectic manifold.

연구 동기 및 목표

• 초케일러 다양체에 대한 Rozansky-Witten 불변량 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 를 곡률 대신 아티야 클래스를 사용하여 공호모로지적으로 재구성하는 것.
• 불변량 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 가 초케일러 계량에 의존하지 않고도 접속의 아티야 클래스로부터 계산될 수 있음을 보여주는 것.
• 공호모로지적 운영형 수학적 프레임워크를 통해 아티야 클래스와 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 상의 계량화된 리 대수의 자코비 항등식 간의 연결 고리를 설정하는 것. 이는 운영형 수학적 방법을 통해 약한 리 대수로 일반화된다.
• 비대칭성 조건을 도입하여 복소 해밀턴 다양체로 이 형식을 확장하고, 원래의 Rozansky-Witten 구성으로 복원하는 것.
• Gelfand-Fuks 공호모로지와 형식 기하학을 연결하기 위해, 형식 지수 함수의 공간 위의 타우토로지적 형식을 사용하는 것.

제안 방법

• Rozansky-Witten 불변량의 구성에서 곡률 대신 공호모로지적 대체로 아티야 클래스 $ \alpha_E \in H^1(X, \Omega^1 \otimes \mathrm{End}(E)) $ 를 사용한다.
• 접속의 아티야 클래스는 임의의 $ \mathcal{O}_X $-대수의 코herent 층 $ A $ 에 대해 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 상에 계량화된 리 대수의 구조를 유도한다.
• 켈러 다양체 위의 도르베오-형식을 통해 아티야 클래스의 자코비 항등식을 풀어내어, 호모토피에 의한 리 대수의 구조를 도출한다.
• 리 대수의 체바레-일렌버그 복합체는 대각선의 형식적 이웃 주변의 함수층으로 대체되며, 이는 복소 지수 함수를 통해 식별된다.
• 형식 기하학의 프레임워크를 사용하여 도르베오-형식을 형식 지수 함수의 공간 위의 상대형식으로 대체함으로써 타우토로지적 형식 $ \bar{\alpha}_n $ 을 도출한다.
• 비대칭성 조건을 도입함으로써 복소 해밀턴 다양체의 경우로 특수화하며, 이 경우 곡률 텐서 $ R_n $ 이 완전히 대칭임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rozansky-Witten 불변량은 리만 곡률 대신 아티야 클래스를 사용하여 재구성될 수 있는가?
• RQ2 아티야 클래스는 공호모로지적 운영형 수학적 프레임워크에서 자코비 항등식을 만족하는가?
• RQ3 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 불변량은 초케일러 계량 외의 임의의 켈러 계량으로도 계산될 수 있는가?
• RQ4 타우토로지적 형식의 형식 기하학적 프레임워크는 콘체비치의 원래 $ \bar{\partial} $-포일리에이션 접근과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 불변량 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 의 구성 뒤에는 모듈러 dg-운영형 수학적 구조가 존재하는가? 그리고 이는 Gelfand-Fuks 공호모로지와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 접속의 아티야 클래스는 복소다양체 위의 임의의 켈러 계량에 대해 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 불변량을 공호모로지적으로 기술하는 데 유효하다.
• 이동된 공호모로지 공간 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 는 아티야 클래스와 총곱 연산을 통해 자연스럽게 계량화된 리 대수의 구조를 지닌다.
• 아티야 클래스는 호모토피에 의한 리 대수의 구조로 풀어낼 수 있는 자코비 항등식을 만족하며, 이는 대각선의 형식적 이웃 주변의 함수층과 동형인 복합체로 형식화된다.
• 이 구성은 모듈러 dg-운영형 수학적 구조의 사상 $ \tilde{\cal F} \to \Omega^{0,\bullet}(\mathcal{E}[T]) $ 로 확장되며, 곡률 텐서 $ R_{\Gamma} $ 는 공호모로지 사이클을 이룬다.
• 복소 해밀턴 다양체의 경우 곡률 텐서 $ R_n $ 은 완전히 대칭적이며, 그래프 복합체 $ \mathcal{F}((g,0)) $ 에서 도르베오-복합체로의 사상으로 정의된다.
• 형식 기하학적 접근은 사상 $ \tilde{\cal F} \to H^0(X, (p_*\Omega^{\bullet}_{\Psi/X}) \otimes \mathcal{E}[T]) $ 를 유도하며, 이에 따라 타우토로지적 형식 $ \bar{\alpha}_\Gamma $ 가 불변량을 인코딩한다.