[논문 리뷰] Rs-sectorial operators and generalized Triebel-Lizorkin spaces

Peer Christian Kunstmann, Alexander Ullmann|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 17.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 41인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 해석적 함수 계산을 이용하여 바나흐 함수 공간 내에서 $\rho_s$-절역 연산자와 관련된 일반화된 트리벨-리조르킨 공간을 도입한다. 다양한 노름 간의 동치성을 확립하고, 실 및 복소 보간 공간을 특성화하며, 이러한 연산자가 관련된 일반화된 트리벨-리조르킨 공간에서 유계 $H^\infty$-계산을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 고전적 결과를 $s=2$의 경우를 초월하여 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of generalized Triebel-Lizorkin spaces associated with sectorial operators in Banach function spaces. Our approach is based on holomorphic functional calculus techniques. Using the concept of $\mathcal{R}_s$-sectorial operators, which in turn is based on the notion of $\mathcal{R}_s$-bounded sets of operators introduced by Lutz Weis, we obtain a neat theory including equivalence of various norms and a precise description of real and complex interpolation spaces. Another main result of this article is that an $\mathcal{R}_s$-sectorial operator always has a bounded $H^\infty$-functional calculus in its associated generalized Triebel-Lizorkin spaces.

연구 동기 및 목표

• 해석적 함수 계산을 이용하여 바나흐 함수 공간 내에서 절역 연산자와 관련된 일반화된 트리벨-리조르킨 공간 이론을 구축하는 것.
• 고전적 $s=2$의 경우를 초월하여 일반적인 $s \in [1,\infty]$에 대해 $H^\infty$-함수 계산 이론을 확장하고, 이산 및 연속적 노름 표현 방식을 포함하는 것.
• $s$-거듭제곱 함수 노름 간의 동치성을 확립하고, 이를 보간 척도로 특성화하는 것.
• $\mathcal{R}_s$-절역 연산자가 관련된 일반화된 트리벨-리조르킨 공간에서 유계 $H^\infty$-계산을 갖는다는 것을 증명하는 것.
• $\mathcal{R}_s$-유계성을 통해 고전적 결과를 힐베르트 공간이나 $L^p$ 공간 외의 비-힐베르트 및 비-$L^p$ 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 적절한 해석적 함수 $\varphi$를 사용하여 노름 표현식 $\|x\|_X + \left( \int_0^\infty \|t^{-\theta} \varphi(tA)x\|_X^s \frac{dt}{t} \right)^{1/s}$ 을 통해 일반화된 트리벨-리조르킨 공간 $X^\theta_{s,A}$ 와 $\dot{X}^\theta_{s,A}$ 를 정의하는 것.
• 뤼츠 바이스가 도입한 $\mathcal{R}_s$-유계성 개념을 활용하여 $\mathcal{R}_s$-절역 연산자를 정의하고, $H^\infty$-계산의 유계성을 보장하는 것.
• 절역 연산자에 대한 해석적 함수 계산을 사용하여 노름 표현식을 정의하고 분석하며, 특히 적분 표현식 내에서 함수 $\varphi$ 의 역할을 집중적으로 고려하는 것.
• 연속적 및 이산적 $s$-거듭제곱 함수 노름 간의 동치성을 확립하고, 이산적 경우의 유효성을 보장하기 위해 $\varphi$ 에 대한 철저한 조건을 설정하는 것.
• 일반화된 트리벨-리조르킨 공간 $\dot{X}^\theta_{s,A}$ 내에서 연산자 $A$ 의 부분 $\dot{A}_{\theta,s}$ 가 각도 $\leq \omega_{\mathcal{R}_s}(A)$ 를 갖는 유계 $H^\infty$-계산을 갖는다는 것을 증명하는 것.
• $\mathcal{R}_s$-유계성을 $\mathcal{R}_s(E)$-유계성으로 확장하고, 표준적 곱공간을 식별함으로써 벡터값 및 바나흐 함수 공간 값 설정으로 이론을 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 해석적 함수 계산을 이용하여 바나흐 함수 공간 내에서 일반 절역 연산자에 대해 일반화된 트리벨-리조르킨 공간을 정의할 수 있는가?
• RQ2 해석적 함수 $\varphi$ 에 어떤 조건이 필요할 경우 일반화된 트리벨-리조르킨 노름 내에서 연속적 및 이산적 $s$-거듭제곱 함수 노름 간의 동치성이 보장되는가?
• RQ3 $\mathcal{R}_s$-절역 연산자가 관련된 일반화된 트리벨-리조르킨 공간에서 유계 $H^\infty$-계산을 갖는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 트리벨-리조르킨 공간은 연산자의 정의역에 대한 실 및 복소 보간 척도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 벡터값 또는 바나흐 함수 공간 값 설정으로 이론을 확장할 수 있으며, 이 경우에도 유계 $H^\infty$-계산 성질을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathcal{R}_s$-절역 연산자에 대해 바나흐 함수 공간 내에서 해석적 함수 계산을 통해 일반화된 트리벨-리조르킨 공간 $X^\theta_{s,A}$ 와 $\dot{X}^\theta_{s,A}$ 가 잘 정의됨을 보였다.
• 해석적 함수 $\varphi$ 에 대해 적절한 조건을 부여함으로써 연속적 및 이산적 $s$-거듭제곱 함수 노름 간의 동치성이 확립되었으며, 이는 고전적 리틀우드-파일리 이론을 일반적인 $s \in [1,\infty]$ 로 확장한 것이다.
• $\dot{X}^\theta_{s,A}$ 내에서 연산자 $A$ 의 부분 $\dot{A}_{\theta,s}$ 는 각도 $\leq \omega_{\mathcal{R}_s}(A)$ 를 갖는 유계 $H^\infty$-계산을 갖는다. 이는 비-힐베르트 설정으로의 도어의 정리 일반화이다.
• $\theta \geq 0$ 인 경우, $A^{-1} \in L(X)$ 이거나 $A$ 가 $X$ 내에서 유계 $H^\infty$-계산을 갖는다면, $X^\theta_{s,A}$ 내에서의 부분 $A_{\theta,s}$ 도 동일한 각도 bound 를 갖는 유계 $H^\infty$-계산을 갖는다.
• $\mathcal{R}_s(E)$-유계성을 통해 이론은 벡터값 및 바나흐 함수 공간 값 설정으로 확장되었지만, 일반적으로 $\mathcal{R}_2(E)$-유계성과 $\mathcal{R}$-유계성 간의 동치성은 $E$ 가 힐베르트 공간이 아닐 경우 성립하지 않는다.
• 적절한 잠재력 조건 하에서, 슈뢰딩거 연산자 $H = -\Delta + V$ 의 경우 일반화된 트리벨-리조르킨 공간은 리틀우드-파일리 분해를 통해 정의된 공간과 일치한다. 특히 $V^-$ 가 카토 클래스에 속할 경우에 해당된다.