[논문 리뷰] Ruelle Operator for Continuous Potentials and DLR-Gibbs Measures

Leandro Cioletti, Artur O. Lopes외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 32인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 연속 잠재적 함수에 대해 비가чёт 가능한 알파벳에서 DLR-Gibbs 측도를 연속 잠재적 함수의 Ruelle 연산자 전치의 고유측도로 특성화하며, Bowen의 유일성 기준을 일반화한다. DLR-Gibbs 측도와 고유확률측도 간의 동치성을 증명하고, 컴팩트 메트릭 알파벳에서 Bowen의 잠재적 함수에 대해 Ruelle 연산자의 양의 고유함수의 존재를 보여준다.

ABSTRACT

In this work we study the Ruelle Operator associated to a continuous potential defined on a countable product of a compact metric space. We prove a generalization of Bowen's criterion for the uniqueness of the eigenmeasures. One of the main results of the article is to show that a probability is DLR-Gibbs (associated to a continuous translation invariant specification), if and only if, is an eigenprobability for the transpose of the Ruelle operator. Bounded extensions of the Ruelle operator to the Lebesgue space of integrable functions, with respect to the eigenmeasures, are studied and the problem of existence of maximal positive eigenfunctions for them is considered. One of our main results in this direction is the existence of such positive eigenfunctions for Bowen's potential in the setting of a compact and metric alphabet. We also present

연구 동기 및 목표

• 비가чёт 가능한 알파벳에서 연속 잠재적 함수의 고전적 Ruelle 연산자 이론을 확장한다. 특히 컴팩트 메트릭 공간을 대상으로 한다.
• DLR-Gibbs 측도를 Ruelle 연산자 전치의 고유확률측도로 특성화한다.
• 연속 잠재적 함수에 대해 비가чёт 가능한 알파벳에서 고유측도에 대한 Bowen의 유일성 기준을 일반화한다.
• Lebesgue 공간에서 Ruelle 연산자의 유계 확장을 연구하고, 최대의 양의 고유함수의 존재를 증명한다.
• 연속 잠재적 함수의 맥락에서 열역학 형식론의 관점에서 Dobrushin의 정리를 제시한다.

제안 방법

• 컴팩트 메트릭 공간의 가산 곱집합에서 사전 측도를 사용하여 Ruelle 연산자를 정의함으로써 고전적 전이 연산자의 일반화를 수행한다.
• Ruelle 연산자의 전치를 사용하여 $\mu = \mathscr{L}_f^* \mu$ 식을 통해 DLR-Gibbs 측도를 고유확률측도로 특성화한다.
• 단조 수렴 정리와 커널 이론을 적용하여 조건부 기대의 극한 행동과 불변 측도를 분석한다.
• 시간 $n$까지 Ruelle 연산자의 작용에 대해 불변인 집합들의 $\sigma$-대거 $\mathscr{A}_n(\mu)$ 를 도입하고, $\mathscr{A}(\mu) = \bigcap_n \mathscr{A}_n(\mu)$ 를 정의한다.
• 극단적인 DLR-Gibbs 측도가 $\mathscr{A}(\mu)$ 에서 자명함을 증명하고, 이는 비틀림 $\sigma$-대거 $\mathscr{T}$ 와의 연결을 맺는다.
• Radon-Nikodym 정리와 커널 성질을 사용하여, 이동 불변 조건 하에서 고유측도가 정확히 DLR-Gibbs 측도와 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DLR-Gibbs 측도가 Ruelle 연산자 전치의 고유측도가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Bowen의 유일성 기준은 비가чёт 가능한 알파벳에서 연속 잠재적 함수에 대해 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 Ruelle 연산자에 대해 양의 고유함수의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 DLR-Gibbs 측도에 대해 비틀림 $\sigma$-대거 $\mathscr{T}$ 와 불변 $\sigma$-대거 $\mathscr{A}(\mu)$ 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 열역학 형식론의 맥락에서 Dobrushin의 정리에 대한 버전을 제시할 수 있는가?

주요 결과

• 연속 이동 불변 사양에 대해 확률 측도 $\mu$ 는 Ruelle 연산자의 전치에 대한 고유확률측도이기 위한 필요충분조건이다.
• 논문은 Bowen의 유일성 기준을 비가чёт 가능한 알파벳에서 연속 잠재적 함수로 일반화하여, 고유측도의 유일성을 보장하는 충분조건을 제공한다.
• 컴팩트 메트릭 알파벳에서 Bowen의 잠재적 함수에 대해 Ruelle 연산자는 Lebesgue 공간 $L^1(\mu)$ 에서 양의 고유함수를 갖는다. 이는 스펙트럼 성질을 보장한다.
• $\mathscr{A}(\mu)$ 는 Ruelle 연산자에 대해 불변인 집합들의 $\mu$-완비화이며, 이는 비틀림 $\sigma$-대거 $\mathscr{T}$ 와의 연결을 맺는다.
• 극단적인 DLR-Gibbs 측도는 $\mathscr{A}(\mu)$ 에서 자명하며, 따라서 $\mathscr{T}$ 에서도 자명하다. 이는 극단성과 비틀림 자명성 간의 연결을 확인한다.
• 논문은 열역학 형식론의 맥락에서 Dobrushin의 정리의 버전을 제시하며, 이를 비가чёт 가능한 알파벳에서 연속 잠재적 함수로의 적용 가능성을 확장한다.