[논문 리뷰] Ruin probabilities and passage times of $\gamma$-reflected Gaussian processes with stationary increments

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 30.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정재성 증분을 가진 $\gamma$-반사 가우시안 과정에서의 파산 확률과 동시 통과 시간 분포에 대한 渐近 근사값을 유도한다. 이는 세금 영향을 받는 자본 과정을 모델링한다. Piterbarg의 부등식을 확장하고, 다중 분수 브라운 운동 및 통합 가우시안 과정에 결과를 적용하여 위험 모델링을 위한 정밀한 꼬리 행동을 제공한다.

ABSTRACT

For a given centered Gaussian process with stationary increments $\{X(t), t\geq 0\}$ and $c>0$, let $$ W_\gamma(t)=X(t)-ct-\gamma\inf_{0\leq s\leq t}\left(X(s)-cs ight), \quad t\geq 0$$ denote the $\gamma$-reflected process, where $\gamma\in (0,1)$. This process is introduced in the context of risk theory to model surplus process that include tax payments of loss-carry forward type.In this contribution we derive asymptotic approximations of both the ruin probability and the joint distribution of first and last passage times given that ruin occurs. We apply our findings to the cases with $X$ being the multiplex fractional Brownian motion and the integrated Gaussian processes. As a by-product we derive an extension of Piterbarg inequality \KD{for} threshold-dependent random fields.

연구 동기 및 목표

• 정재성 증분을 가진 $\gamma$-반사 가우시안 과정에서의 파산 확률과 최초/최후 통과 시간을 분석한다.
• 손실 이월 방식의 세금 납부를 위험 이론에서 $\gamma$-반사 과정을 사용하여 모델링한다.
• 일반 조건 하에서 파산 확률과 동시 통과 시간 분포에 대한 渐近 근사값을 도출한다.
• Piterbarg의 부등식을 부수적으로도 임계값 의존성 가우시안 랜덤 분야로 확장한다.
• 이론적 결과를 다중 분수 브라운 운동 및 통합 가우시안 과정과 같은 구체적 과정에 적용한다.

제안 방법

• $\gamma \in (0,1)$에 대해 $W_\gamma(t) = X(t) - ct - \gamma \inf_{0\leq s\leq t}(X(s) - ct)$로 정의된 $\gamma$-반사 과정을 사용하여 세금이 포함된 자본을 모델링한다.
• 중우 꼬리 또는 유사 중우 꼬리 행동을 가정할 때 시간 $t \to \infty$로 갈수록 파산 확률의 渐近 분석을 수행한다.
• 표본 경로 기법과 Pickands 유형 상수를 사용하여 최초 및 최후 통과 시간의 꼬리 渐近 행동을 유도한다.
• $X(t)$의 증분의 정재성을 활용하여 모멘트 및 의존성 구조 분석을 단순화한다.
• 유도된 극단 행동을 기반으로 Piterbarg의 부등식을 임계값 의존성 가우시안 랜덤 분야로 확장한다.
• 결과를 구체적 과정에 적용: 다중 분수 브라운 운동 및 통합 가우시안 과정으로 적용 가능성 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간이 무한으로 갈수록 정재성 증분을 가진 $\gamma$-반사 가우시안 과정에서의 파산 확률의 渐近 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 파산이 발생한 조건 하에서 최초 및 최후 통과 시간의 동시 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 이 맥락에서 임계값 의존성 가우시안 랜덤 분야에 대한 Piterbarg의 부등식의 확장은 무엇인가?
• RQ4 다중 분수 브라운 운동 및 통합 가우시안 과정과 같은 특정 과정에 결과가 어떻게 적용되는가?
• RQ5 정재성 증분을 가진 일반 가우시안 과정에서 파산 확률과 통과 시간에 대한 정밀한 渐近 근사값은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 정재성 증분을 가진 $\gamma$-반사 가우시안 과정에서의 파산 확률에 대해 정밀한 渐近 근사값을 도출하였으며, 이는 중우 꼬리 영역에서 유효하다.
• 파산이 발생한 조건 하에서 최초 및 최후 통과 시간의 동시 분포는 渐近적으로 특성화되어 있으며, 파산 사건의 시간적 구조에 대한 통찰을 제공한다.
• 임계값 의존성 가우시안 랜덤 분야에 대한 Piterbarg의 부등식의 확장이 확립되었으며, 이는 비정재성 임계값 하에서 극단 사건 분석을 가능하게 한다.
• 다중 분수 브라운 운동의 경우, 渐近 파산 확률이 자기유사성 지수와 $\gamma$에 의해 결정되는 거듭제곱 감쇠를 따른다.
• 통합 가우시안 과정의 경우, 통합 공분산 구조와 Pickands 유형 상수를 사용하여 渐近 파산 확률이 도출된다.
• 결과는 $\gamma$-반사 메커니즘이 특히 동시 통과 시간 분포에서 파산 시간의 꼬리 행동을 크게 변화시킨다는 것을 보여준다.