[논문 리뷰] Ruin probabilities with investments: smoothness, IDE and ODE, asymptotic behavior

Yuri Kabanov, Nikita Pukhlyakov|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 16.

Probability and Risk Models참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 생명보험과 손해보험 위험을 조합한 보험 모델에서 위험 자산에 투자하는 경우의 파산 확률을 연구한다. 기하 브라운 motion으로 구동되는 위험 자산에 투자하는 모델에서, 초기 자본에 대한 파산 확률의 미세성(스무쓰nees)을 입증하고, 지수 분포를 따르는 점프에 대해 네 번째 차수의 상미분방정식(OED)을 유도하며, $Ψ(u) \sim C u^{-\beta}$ 형태로 점 渐진적으로 감소함을 증명한다. 여기서 $β = 2a/\sigma^2 - 1$이며, 이는 단일 점프 유형 모델에서 알려진 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

The study deals with the ruin problem when an insurance company having two business branches, life insurance and non-life insurance, invests its reserve into a risky asset with the price dynamics given by a geometric Brownian motion. We prove a result on smoothness of the ruin probability as a function of the initial capital and obtain for it an integro-differential equation understood in the classical sense. For the case of exponentially distributed jumps we show that the survival probability is a solution of an ordinary differential equation of the 4th order. Asymptotic analysis of the latter leads to the conclusion that the ruin probability decays to zero in the same way as in the already studied cases of models with one-side jumps.

연구 동기 및 목표

• 보험사가 생명보험과 손해보험 사업을 병합하고 위험 자산에 투자하는 집단 위험 모델에서의 파산 확률을 분석하는 것.
• 일반적인 점프 분포 하에서 초기 자본에 대한 파산 확률의 스무쓰nees를 입증하는 것.
• 점프 크기가 지수 분포를 따를 경우 생존 확률에 대한 네 번째 차수의 상미분방정식(OED)을 유도하는 것.
• 초기 자본이 무한히 증가할 때 파산 확률의 점 渐진적 행동을 조사하는 것.
• 단일 점프 유형 모델에서 알려진 점 渐진적 감소 속도 결과를 더 일반적인 양방향 점프 모델으로 확장하는 것.

제안 방법

• 위험 자산(브라운 운동)과 복합 포아송 과정(사업 활동)에 의해 구동되는 확률적 미분방정식의 해로서 보험사의 예금을 모델링하는 것.
• 기저 확률 과정의 정규성 성질과 적분미분방정식을 이용하여 초기 자본에 대한 파산 확률이 스무쓰 함수임을 증명하는 것.
• 지수 분포를 따르는 점프에 대해, 변환과 점 渐진적 분석을 통해 적분미분방정식(IDE)을 계수에 따라 변하는 변수 계수를 가진 네 번째 차수 선형 ODE로 감소시키는 것.
• 초기 자본 $u \to \infty$ 일 때 ODE의 기본 행렬 해의 행동을 분석하기 위해 점 渐진적 분석을 적용하며, 고유값 분석과 섭동 이론을 사용하는 것.
• 지배적 균형 방법과 고유값 분해를 이용하여 파산 확률의 주요 순서 점 渐진적 행동을 식별하는 것.
• ODE의 해의 감소 속도를 분석하여 점 渐진적 형태 $\Psi(u) \sim C u^{-\beta}$ 를 확립하는 것. 여기서 $\beta = 2a/\sigma^2 - 1$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양방향 점프가 존재하고 위험 자산에 투자할 경우, 초기 자본에 대한 파산 확률이 여전히 스무쓰한 함수로 유지되는가?
• RQ2 점프 크기가 지수 분포를 따를 경우, 파산 확률이 네 번째 차수의 상미분방정식으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 위험 자산 투자와 함께 양방향 점프 모델에서 초기 자본 $u \to \infty$ 일 때 파산 확률의 점 渐진적 감소 속도는 무엇인가?
• RQ4 위험 자산의 변동성이 높을 경우, 크라머 조건이 만족되더라도 파산이 거의 확실하게 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 생명보험과 손해보험 위험의 동시 존재가 단일 위험 모델에 비해 파산 확률의 점 渐진적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 점프 분포에 대한 약한 모멘트 조건 하에서, 초기 자본에 대한 파산 확률은 스무쓰 함수이다.
• 지수 분포를 따르는 점프에 대해, 생존 확률은 계수에 따라 변하는 변수 계수를 가진 네 번째 차수 선형 ODE를 만족하며, 이는 기저 적분미분방정식에서 유도된다.
• 파산 확률의 점 渐진적 행동은 $u \to \infty$ 일 때 $\Psi(u) \sim C u^{-\beta}$ 로 표현되며, 여기서 $C > 0$ 이고 $\beta = 2a/\sigma^2 - 1$ 이다.
• 감소 속도 $\beta$ 는 단일 점프 유형 모델에서 알려진 결과와 일치하며, 동일한 위험 매개변수 하에서 점 渐진적 행동의 보편성을 시사한다.
• 만약 $\beta \geq 1$ 즉, $2a/\sigma^2 \geq 2$ 라면 파산은 거의 확실하게 발생하며, 이는 변동성 대 대비 드리프트의 결정적 역할을 확인한다.
• 스파레 안더슨 모델에 투자 요건을 추가한 경우, 거의 확실한 파산을 위한 충분조건을 도출하였으며, 이는 이전 결과를 갱신형 청구 도착 모델로 확장한 것이다.