[논문 리뷰] Ruin probability of a discrete-time risk process with proportional reinsurance and investment for exponential and Pareto distributions

Helena Jasiulewicz, Wojciech Kordecki|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 14.

Probability and Risk Models참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비례 재보험과 랜덤 투자 수익률을 고려한 이산시간 리스크 과정에서 유한한 시간 범위 내의 파산 확률을 분석하며, 손실 분포로는 지수(가벼운 尾) 및 파레토(무거운 尾) 분포를 중심으로 다룬다. 파산 확률에 대한 재귀 방정식을 유도하고, 지수 분포에 대해 룬베르크 상한을 제공하며, 초기 자본이 증가함에 따라 파레토 분포에 대해 渐近적 근사치를 확립한다. 이는 수렴 속도가 빠르고, 다양한 재보험 수준과 이자율 조건에서 리스크 관리 의사결정에 실용적인 유용성을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper a quantitative analysis of the ruin probability in finite time of discrete risk process with proportional reinsurance and investment of finance surplus is focused on. It is assumed that the total loss on a unit interval has a light-tailed distribution -- exponential distribution and a heavy-tailed distribution -- Pareto distribution. The ruin probability for finite-horizon 5 and 10 was determined from recurrence equations. Moreover for exponential distribution the upper bound of ruin probability by Lundberg adjustment coefficient is given. For Pareto distribution the adjustment coefficient does not exist, hence an asymptotic approximation of the ruin probability if an initial capital tends to infinity is given. Obtained numerical results are given as tables and they are illustrated as graphs.

연구 동기 및 목표

• 비례 재보험과 잉여 자산의 투자 조건이 있는 이산시간 리스크 과정에서의 유한한 시간 범위 내 파산 확률을 분석한다.
• 특히 재보험사의 로딩이 보험사의 로딩을 초과할 경우, 지수 분포 손실에 대한 룬베르크 상한이 파산 확률에 대해 얼마나 정확한지 평가한다.
• 초기 자본이 증가함에 따라 중도에 파레토 분포 손실에 대한 파산 확률에 대한 渐近적 근사치를 개발하고 검증한다.
• 수용 가능한 파산 확률 기준을 달성하기 위해 최적의 재보험 보상 수준과 초기 자본 수요를 위한 실용적 지침을 제공한다.
• 유사한 기하 평균과 분산 조건을 갖춘 지수(가벼운 尾) 및 파레토(무거운 尾) 분포 간의 수치 결과를 비교한다.

제안 방법

• 비례 재보험과 잉여 자산의 랜덤 이자율 조건이 있는 이산시간 리스크 모델에서의 유한한 시간 범위 내 파산 확률에 대한 재귀 방정식을 유도한다.
• 지수 분포 손실에 대한 파산 확률 상한을 도출하기 위해 룬베르크 조정 계수 방법을 적용한다.
• 정규적으로 변화하는 꼬리 이론을 사용하여 파레토 분포 손실에 대한 이론적 渐近적 근사치를 확립한다.
• 재귀 방정식을 수치적으로 계산하여 다양한 초기 자본, 보상 수준, 이자율 조합에 대한 파산 확률 표 및 그래프를 생성한다.
• 정확한 수치 비교를 위해 지수 및 파레토 분포의 기하 평균과 분산을 일치시킨다.
• 초기 자본과 보상 수준에 따른 파산 확률의 추세와 수렴 정도를 시각화하기 위해 그래픽 도구를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산시간 리스크 과정은 연속시간 모델과 동일한 최적의 보상 수준 행동을 보이는가? 즉, 조정 계수 최대화가 최적 보상 수준을 결정하는가?
• RQ2 재보험사의 로딩이 보험사의 로딩을 초과할 경우(ξ > θ), 비례 재보험 조건에서 파산 확률에 대한 룬베르크 상한이 얼마나 정확한가?
• RQ3 초기 자본이 증가함에 따라 중도에 파레토 분포 손실에 대한 파산 확률에 대한 渐近적 근사치는 정확하고 수렴 속도가 빠른가?
• RQ4 초기 자본, 재보험 보상 수준, 그리고 그에 따른 파산 확률 간의 관계는 경량 및 무거운 尾 손실 분포 모두에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 수치 표 및 그래프를 활용하여 특정 기준(예: 0.05) 이하의 파산 확률을 유지하기 위해 필요한 최소 초깃금액 또는 최적의 보상 수준을 결정할 수 있는가?

주요 결과

• 지수 분포 손실의 경우, 룬베르크 상한은 여전히 유효하지만, 재보험사의 로딩이 보험사의 로딩을 초과할 경우(ξ > θ) 정확도가 떨어지며, 조정 계수가 더 이상 볼록이 아니기 때문이다.
• ξ = θ일 경우 조정 계수는 볼록성을 가지며 이로 인해 상한의 정밀도가 향상되지만, ξ > θ일 경우 이 볼록성이 상실되어 상한의 신뢰성이 감소한다.
• 파레토 분포 손실의 경우, 초기 자본이 증가함에 따라 파산 확률에 대한 渐近적 근사치가 빠르게 한계값에 수렴함을 확인하여 실용적 유용성을 입증한다.
• 수치 결과에 따르면, 고정된 초깃금액에서 보상 수준이 높아질수록 파산 확률이 증가함을 확인하였으며, 이는 이산 모델에서 최소 보상 수준이 파산 확률을 최소화함을 시사한다.
• 5년 기간 및 5% 이자율 조건에서, 파레토 분포 손실 하에서 표 4의 'lack' 표기와 같이 초기 자본 u=1은 보상 수준 b ∈ (0.2,1] 전역에서 파산 확률을 0.05 이하로 유지하기에 부족하다.
• 그림 3 및 4의 그래프는 초기 자본 증가와 보상 수준 감소에 따라 파산 확률이 감소하며, 특히 낮은 보상 수준과 높은 자본 조건에서 더 급격한 감소를 보임을 시각적으로 나타낸다.