[논문 리뷰] S-crucial and bicrucial permutations with respect to squares

Ian P. Gent, Sergey Kitaev외 3명|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|2014. 02. 14.

semigroups and automata theory참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Minion 솔버를 사용한 제약 프로그래밍 접근법을 통해 제곱수에 대한 이중결정 및 S-결정 순열에 대한 미해결 문제를 해결한다. 이는 짝수 길이의 이중결정 순열이 존재하며, 그 중 가장 작은 것은 길이 32임을 증명하며, $k=2,3$에 대해 $8k+3$ 길이의 이중결정 순열이 존재하지만 $k=1$에 대해서는 존재하지 않음을 보여준다. 또한 제곱수에 대한 최소 S-결정 순열의 길이는 17이며, 이러한 순열에 대한 광범위한 데이터를 생성한다.

ABSTRACT

A permutation is square-free if it does not contain two consecutive factors of length two or more that are order-isomorphic. A permutation is bicrucial with respect to squares if it is square-free but any extension of it to the right or to the left by any element gives a permutation that is not square-free. Bicrucial permutations with respect to squares were studied by Avgustinovich et al., who proved that there exist bicrucial permutations of lengths $8k+1, 8k+5, 8k+7$ for $k\ge 1$. It was left as open questions whether bicrucial permutations of even length, or such permutations of length $8k+3$ exist. In this paper, we provide an encoding of orderings which allows us, using the constraint solver Minion, to show that bicrucial permutations of even length exist, and the smallest such permutations are of length 32. To show that 32 is the minimum length in question, we establish a result on left-crucial (that is, not extendable to the left) square-free permutations which begin with three elements in monotone order. Also, we show that bicrucial permutations of length $8k+3$ exist for $k=2,3$ and they do not exist for $k=1$. Further, we generalise the notions of right-crucial, left-crucial, and bicrucial permutations studied in the literature in various contexts, by introducing the notion of $P$-crucial permutations that can be extended to the notion of $P$-crucial words. In S-crucial permutations, a particular case of $P$-crucial permutations, we deal with permutations that avoid prohibitions, but whose extensions in any position contain a prohibition. We show that S-crucial permutations exist with respect to squares, and minimal such permutations are of length 17. Finally, using our software, we generate much of relevant data showing, for example, that there are 162,190,472 bicrucial square-free permutations of length 19.

연구 동기 및 목표

• 짝수 길이의 이중결정 순열과 $k \geq 1$에 대해 $8k+3$ 길이의 이중결정 순열의 존재성에 대한 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 제곱수에 대한 S-결정 순열의 존재성과 최소 길이를 규명하기 위해.
• 우회적 위치 집합 $P$에 대해 오직 제한된 위치를 포함하는 순열의 개념을 일반화하여 $P$-결정 순열로 확장하고, 제곱수를 피하는 순열에 적용하기 위해.
• 제약 기반 순열의 제곱수 없는 순열 열거를 위한 새로운 순서 표현 방식을 개발하고 적용하기 위해.
• Minion 제약 솔버를 사용하여 이중결정 및 S-결정 순열에 대한 포괄적인 데이터를 생성하기 위해.

제안 방법

• 순서 동형성과 제곱수 탐지에 대해 원소 간 재정의된 이진 부등식을 사용하여 순열을 인코딩하기 위해.
• SSAC 사전처리 및 dom/wdeg 탐색 히우리스틱을 사용한 Minion 제약 솔버를 적용하여 효율성을 향상시키기 위해.
• 보조 대칭성 감소를 위해 렉스-리더 방법을 적용하여 보완 및 역전 대칭성 기준으로 해를 세기 위해.
• 임의의 확장(좌측 또는 우측)이 제곱수를 유도하도록 보장함으로써 결정성 제약 조건을 설정하기 위해.
• 해의 보완 및 역전이 동일한 성질를 만족하는지 확인함으로써 결과를 검증하기 위해.
• 순서 제약 조건의 시퀀스로 순열을 표현하는 맞춤형 인코딩을 사용하여, 효율적인 제곱수 탐지 및 결정성 검증을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 길이의 이중결정 순열이 존재하는가? 존재한다면 최소 길이는 얼마인가?
• RQ2 $k \geq 1$에 대해 $8k+3$ 길이의 이중결정 순열이 존재하는가? 존재한다면 어떤 $k$ 값에 대해 존재하는가?
• RQ3 제곱수에 대한 S-결정 순열의 최소 길이는 얼마인가?
• RQ4 금지된 위치 집합 $P$에 대해 일반화된 $P$-결정 순열의 개념을 임의의 집합 $P$에 대해 확장할 수 있는가?
• RQ5 제곱수에 대해 임의로 긴 이중결정 또는 S-결정 순열이 존재하는가?

주요 결과

• 짝수 길이의 이중결정 순열이 존재하며, 그 중 가장 작은 순열은 길이 32이다.
• $k=2$ 및 $k=3$에 대해 $8k+3$ 길이의 이중결정 순열이 존재하지만 $k=1$에 대해서는 존재하지 않으며, 이는 이전에 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 제곱수에 대한 최소 S-결정 순열의 길이는 17이며, 길이 21에서 최소 144,586개의 대칭적으로 서로 다른 이러한 순열이 존재한다.
• 길이 19의 이중결정 제곱수 없는 순열은 제약 솔버를 통해 총 162,190,472개로 계산되었다.
• SSAC 사전처리 및 dom/wdeg 히우리스틱을 사용한 제약 프로그래밍 접근법은 검색 공간을 크게 줄였으며, 이로 인해 이전의 한계를 초월하여 $n=26$까지 문제를 해결할 수 있었다.
• 이 연구는 21를 초월한 길이에서 S-결정 순열이 존재한다는 것을 확인하였으며, 임의로 긴 이러한 순열이 존재할 것이라고 추측한다.