[논문 리뷰] $S$-duality of $u(1)$ gauge theory with $θ=π$ on non-orientable manifolds: Applications to topological insulators and superconductors

Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 19.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 비방향성 다양체에서 디랙 페르미온의 시간역전 대칭성(T 또는 CT 대칭성으로 실현됨)을 갖는 U(1) 게이지 이론과 θ=π 사이의 S dual을 수립한다. RP⁴에서 분할 함수를 계산하여 두 이론 간의 등가성을 보이며, 게이지화된 토폴로지 절연체(클래스 AII)와 게이지화된 토폴로지 초전도체(클래스 AIII)가 S dual임을 확인하는 추측을 지지한다. 이를 통해 비자명한 고립 표면 상태를 도출할 수 있다.

ABSTRACT

Electric-magnetic duality ($S$-duality) is a well-known property of pure $u(1)$ gauge theory in 3+1 dimensions. In this paper, we investigate the compatibility of this duality with time-reversal symmetry. We consider two theories obtained by coupling a Dirac fermion with an "inverted" sign of the mass $m$ to a $u(1)$ gauge field. Time-reversal in the two theories is implemented respectively via the $T$ and $CT$ symmetries of the Dirac fermion. It was recently conjectured (C. Wang and T. Senthil (arXiv:1505.03520), and M. Metlitski and A.Vishwanath (arXiv:1505.05142)) that in the $|m| o \infty$ limit these two theories are $S$-dual to each other. We provide support for this conjecture by studying partition functions of the two theories on non-orientable manifolds as a way to probe the realization of time-reversal. Upon integrating out the Dirac fermion, topological terms in the actions of the two theories are generated. While on an orientable manifold topological terms in both theories reduce to a $θ$-term with $θ= π$, on a non-orientable manifold they are distinct. We explicitly compute partition functions of the two theories on the manifold $\mathbb{RP}^4$ and show that they are equal; this result combined with certain physical arguments is sufficient to establish the duality. The two theories can be viewed as a gauged topological insulator in class AII and a gauged topological superconductor in class AIII, and the bulk duality allows us to derive previously conjectured non-trivial symmetric gapped surface states of these phases.

연구 동기 및 목표

• S dual이 θ=π를 갖는 U(1) 게이지 이론에서 시간역전 대칭성과 호환되는지 조사한다.
• 시간역전 대칭성이 T 또는 CT 대칭성으로 실현되는 두 U(1) 게이지 이론이 |m|→∞ 극한에서 S dual인지 확인한다.
• 바닥 상태 이중성의 응용을 통해 토폴로지 절연체와 초전도체의 비자명한 대칭성 있는 고립 표면 상태를 유도한다.
• 특히 RP⁴에서의 분할 함수 계산을 통해 비방향성 다양체에서 시간역전 대칭성의 실현 방식과 이중성의 확인을 목표로 한다.

제안 방법

• 비방향성 다양체에서 질량 m을 갖는 디랙 페르미온의 분할 함수를 계산하며, T 및 CT 시간역전 대칭성 간의 차이를 구분한다.
• 디랙 페르미온을 적분하여 효과적 작용에 토폴로지 항을 생성하며, 이는 방향성 있는 다양체에서는 동일하게 θ=π로 수렴하지만 비방향성 다양체에서는 서로 다른 항을 갖는다.
• RP⁴를 이용해 두 이론의 분할 함수를 계산하고 비교하여 S dual 조건 하에서의 등가성을 보인다.
• 분할 함수와 토폴로지 불변량 간의 관계를 설정하기 위해 Reidemeister 토르션과 해석적 토르션 기법을 적용한다.
• 정규직교 기저와 정수 계수 코homology 기저 간의 관계를 통해 Reidemeister 토르션과 해석적 토르션의 동치를 보장하는 Cheeger-Müller 정리를 활용한다.
• S dual 조건 하에서 분할 함수의 정확한 일치를 보여 이중성을 입증하며, 물리적 일관성과 토폴로지 불변성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 θ=π를 갖는 U(1) 게이지 이론에서 시간역전 대칭성이 T 또는 CT 대칭성으로 실현되는 경우, |m|→∞ 극한에서 서로 S dual인지 여쭙니다?
• RQ2 시간역전 대칭성이 T 또는 CT 대칭성으로 실현될 때, 비방향성 다양체에서 U(1) 게이지 이론의 토폴로지 항은 어떻게 다릅니까?
• RQ3 RP⁴에서의 분할 함수는 θ=π를 갖는 페르미온적 U(1) 게이지 이론에서 S 이중성을 테스트하는 데 사용될 수 있습니까?
• RQ4 이 맥락에서 비방향성 다양체의 분할 함수 계산에 있어 Reidemeister 토르션의 역할은 무엇입니까?
• RQ5 비방향성 시공간에서의 바닥 상태 S 이중성은 어떻게 토폴로지 절연체와 초전도체 간의 이중성으로 나타납니까?

주요 결과

• 시간역전 대칭성 실현 방식이 T 또는 CT로 다를지라도, RP⁴에서 계산된 두 U(1) 게이지 이론의 분할 함수는 서로 동일하다.
• 이 등가성은 비방향성 다양체에서 서로 다른 토폴로지 항을 갖는 두 이론이 S dual임을 강력히 뒷받침하며, 이는 추측의 정당성을 높인다.
• 이중성은 클래스 AII의 게이지화된 토폴로지 절연체가 클래스 AIII의 게이지화된 토폴로지 초전도체와 S dual임을 확인한다.
• 계산 결과, RP⁴에서의 효과적 작용은 Reidemeister 토르션을 통해 코homology의 토르션을 정확히 캡처함을 보여준다.
• 결과적으로 이러한 토폴로지 위상에 대해 비자명한 대칭성 있는 고립 표면 상태가 존재함을 시사하며, 이는 이전의 추측과 일치한다.
• Cheeger-Müller 정리를 통해 분석적 토르션과 Reidemeister 토르션 간의 정확한 일치가 입증되었으며, 이는 S 이중성 하에서 분할 함수의 등가성이 확립됨을 뒷받침한다.