[논문 리뷰] s-Inversion Sequences and P-Partitions of Type B

William Y. C. Chen, Alan J. X. Guo외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Savage와 Visontai가 제기한 추측을 증명한다. 즉, 다중집합 {1², 2², ..., n²} 위의 부호 있는 순열에서 내림수(descents)의 수가 s = (1,4,3,8,5,12,...)에 대해 길이 2n인 s-역전순서열에서 오름수(ascents)의 수와 동분포(equidistributed)됨을 보인다. 유형 B P-분할과 생성함수를 이용하여, 부호 있는 레이블이 부여된 삼각형의 선형 확장과 이러한 부호 있는 순열 사이의 이분형 사상(bijection)을 구축함으로써, 동분포 성질을 확인하고, 유형 B 순열에서 내림수 통계량의 생성함수에 대한 새로운 조합적 해석을 제시한다.

ABSTRACT

Given a sequence $s=(s_1,s_2,\ldots)$ of positive integers, the inversion sequences with respect to $s$, or $s$-inversion sequences, were introduced by Savage and Schuster in their study of lecture hall polytopes. A sequence $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ of nonnegative integers is called an $s$-inversion sequence of length $n$ if $0\leq e_i < s_i$ for $1\leq i\leq n$. Let I(n) be the set of $s$-inversion sequences of length $n$ for $s=(1,4,3,8,5,12,\ldots)$, that is, $s_{2i}=4i$ and $s_{2i-1}=2i-1$ for $i\geq1$, and let $P_n$ be the set of signed permutations on $\{1^2,2^2,\ldots,n^2\}$. Savage and Visontai conjectured that when $n=2k$, the ascent number over $I_n$ is equidistributed with the descent number over $P_k$. For a positive integer $n$, we use type $B$ $P$-partitions to give a characterization of signed permutations over which the descent number is equidistributed with the ascent number over $I_n$. When $n$ is even, this confirms the conjecture of Savage and Visontai. Moreover, let $I'_n$ be the set of $s$-inversion sequences of length $n$ for $s=(2,2,6,4,10,6,\ldots)$, that is, $s_{2i}=2i$ and $s_{2i-1}=4i-2$ for $i\geq1$. We find a set of signed permutations over which the descent number is equidistributed with the ascent number over $I'_n$.

연구 동기 및 목표

• Savage와 Visontai가 제기한 특정 s-시퀀스에 대해, 다중집합 {1², 2², ..., n²} 위의 부호 있는 순열에서의 내림수 수와 길이 2n인 s-역전순서열에서의 오름수 수 사이의 동분포 성질을 해결하는 것.
• s-역전순서열 이론을 확장하여, 이를 형식 B P-분할과 부호 있는 순열의 생성함수와 연결하는 것.
• 부호 있는 레이블이 부여된 삼각형의 선형 확장과 유형 B 순열에서 내림수 통계량 사이의 조합적 연결 고리를 설정하는 것.
• s-역전순서열과의 동분포를 통해, 부호 있는 순열에서 내림수 수의 생성함수의 실근성(real-rootedness)에 대한 새로운 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• s = (1,4,3,8,5,12,...)에 대해, 조건 0 ≤ e_i < s_i 를 만족하는 s-역전순서열을 정의하고, 오름수 수를 e_i/s_i < e_{i+1}/s_{i+1} 를 만족하는 인덱스 i의 수로 정의한다.
• 형식 B P-분할을 사용하여, 내림수 수가 s-역전순서열의 오름수 수와 동분포되는 부호 있는 순열을 특성화한다.
• 다중집합 {1², 2², ..., n²} 위의 부호 있는 순열에서 내림수 통계량의 생성함수를 구성하고, 이를 길이 2n인 s-역전순서열의 오름수 통계량의 생성함수와 연결한다.
• 레이블이 부여된 트리 구조 T_i와 그 부호 레이블링을 사용하여, 부호 있는 레이블이 부여된 삼각형의 선형 확장과 P_n에 속하는 부호 있는 순열 사이의 내림수를 유지하는 이분형 사상을 구축한다.
• Savage와 Schuster가 유도한 f_n^{(s)}(t)와 s-역전순서열의 오름수 생성함수 사이의 생성함수 항등식을 적용하여, 동분포 결과를 도출한다.
• 두 생성함수 P_n(x)와 I_{2n}(x)가 모두 (t+1)^n(2t+1)^n을 포함하는 동일한 함수방정식을 만족함을 보여, P_n(x) = I_{2n}(x)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 s = (1,4,3,8,5,12,...)일 때, 다중집합 {1², 2², ..., n²} 위의 부호 있는 순열에서 내림수 수가 길이 2n인 s-역전순서열에서 오름수 수와 동분포되는가?
• RQ2 형식 B P-분할을 사용하여, 내림수 수가 s-역전순서열의 오름수 수와 일치하는 부호 있는 순열을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 P_n에서 내림수 수의 생성함수와 I_{2n}에서 오름수 수의 생성함수는 동일한 함수방정식을 만족하는가?
• RQ4 부호 있는 레이블이 부여된 삼각형의 선형 확장과 P_n에 속하는 부호 있는 순열 사이의 이분형 사상을 통해 동분포를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 다중집합 {1², 2², ..., n²} 위의 부호 있는 순열 집합 P_n에서의 내림수 수가 s = (1,4,3,8,5,12,...)에 대해 길이 2n인 s-역전순서열 집합 I_{2n}에서의 오름수 수와 동분포됨을 확인하여, Savage와 Visontai의 추측 1.1을 증명한다.
• P_n에서 내림수 수의 생성함수 P_n(x)와 I_{2n}에서 오름수 수의 생성함수 I_{2n}(x)는 모두 (t+1)^n(2t+1)^n을 포함하는 동일한 함수방정식을 만족하므로, P_n(x) = I_{2n}(x)임을 보인다.
• s' = (2,2,6,4,10,6,...)에 대해 s-역전순서열의 오름수 수의 생성함수 ∑_{e∈I'_{2n}} x^{asc(e)} 가 I_{2n}(x)와 같음을 보여, 두 서로 다른 s-시퀀스가 오름수 생성함수를 통해 연결됨을 밝힌다.
• 증명 과정에서 P_n에서 내림수 수의 생성함수는 부호 있는 레이블이 부여된 삼각형 F_n'의 선형 확장에서 내림수 수의 생성함수와 같음을 보였으며, 이는 (1-x)^{-2n} 곱하기 t에 대한 합 ∑_t (t+1)^{n-1}(2t+1)^n x^t 로 표현됨을 보였다.
• 합 ∑_{w∈L(F_n')} Ω_{F_n'}(w,t) 는 (t+1)^{n-1}(2t+1)^n 와 같으며, 이는 함수방정식을 확인하고 동분포 증명을 완성한다.