[논문 리뷰] Saccharinity with ccc

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 09.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비가역 기수자가 필요 없이 ZFC와 ZF + '모든 실수 집합이 $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-가측 가능하다' + '다음과 같은 $\omega_1$-수열의 실수가 존재한다' 사이의 등치일관성을 보이기 위해 크리처 포스팅 기술을 사용하여 수스린 ccc 포스팅 노션을 구성한다. 포스팅 노션은 비-스위트이자 비-동질적이지만 ccc를 유지하며, 모든 정의 가능한 집합이 이상에 모odulo하여 보렐이 되도록 보장하여, $AC_{\aleph_0}$가 위반되는 모델에서도 강력한 정규성 성질을 달성한다.

ABSTRACT

Using creature technology, we construct families of Suslin ccc non-sweet forcing notions $\mathbb Q$ such that $ZFC$ is equiconsistent with $ZF+$"every set of reals equals a Borel set modulo the $(\leq \aleph_1)$-closure of the null ideal associated with $\mathbb Q$"+"there is an $ω_1$-sequence of distinct reals". This answers a question of the second author and Kellner. As an application of independent interest, we also show how our forcing adds a new $Π^1_2$ singleton over $L$ without relying on $L$-combinatorics.

연구 동기 및 목표

• ZFC와 '모든 실수 집합이 $I_{\mathbb{Q},\kappa}$-가측 가능하다'의 일관성 강도를 $\kappa = \aleph_1$일 때 분류하는 것.
• 비가역 기수자나 '스위트니스' 성질을 가정하지 않고 이러한 정규성 성질을 달성할 수 있는지 조사하는 것.
• 비-스위트, 수스린, ccc 포스팅 노션을 구성하여 모든 실수 집합이 $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-가측 가능해지는 모델를 얻는 것.
• 비완전 선택 공리 모델에서 비완전 순서의 반복과 크리처 포스팅이 동질성과 정규성 달성에 어떻게 기여하는지 탐색하는 것.

제안 방법

• [RoSh470]과 [RoSh628]의 크리처 포스팅 기술을 사용하여 유한 분지 수 나무와 후속 항목에 대한 노름을 갖는 매개변수화된 포스팅 노션 $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^1$과 $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^2$를 정의한다.
• 비완전 순서의 선형 순서를 반복에 통합하여, 비-동질적인 개별 포스팅 노션에도 불구하고 강력한 동질성을 달성한다.
• 포스팅 노션 $\mathbb{Q}$가 일반화된 실수를 추가할 때 관련된 이상 $I_{\mathbb{Q},\kappa}$를 정의하며, 르베그 및 보렐 성질을 일반화한다.
• 일반화된 실수 간의 독립성과 그 분포를 통제하기 위해 '멀리 떨어진' 매개변수를 정의한다.
• 콤���트성 추론을 적용하고, $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^2$에서 최대 반대집합이 보렐 성질임을 증명하여 정의 가능성 보장.
• 기저 모델에서 비구성적 선택 원리를 사용하여 $\omega_1$-수열의 서로 다른 실수를 확보하고, ccc 성질로 인해 확장에서도 유지됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ccc 포스팅 노션에 대해 '모든 실수 집합이 $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-가측 가능하다'의 일관성 강도를 비가역 기수자 수준 이하로 낮출 수 있는가?
• RQ2 특히 비-스위트 ccc 포스팅에서 '스위트니스' 성질을 가정하지 않고 이러한 정규성 성질을 달성할 수 있는가?
• RQ3 비-선택 공리 $AC_{\aleph_0}$가 성립하지 않는 모델에서 ZF + '모든 실수 집합이 $I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-가측 가능하다' + '서로 다른 실수의 $\omega_1$-수열이 존재한다'를 구성할 수 있는가?
• RQ4 비완전 순서의 반복이 비-동질적 포스팅 구성에서 동질성을 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유사한 결과를 이상 $I_{\mathbb{Q},\aleph_0}$로 확장할 수 있는가, 아니면 $\aleph_1$-기반 이상이 본질적인가?

주요 결과

• 논문은 크리처 포스팅을 사용하여 비-스위트이자 비-동질적인 수스린 ccc 포스팅 노션 $\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i$를 구성하였으며, ccc를 유지한다.
• ZFC와 ZF + '모든 실수 집합이 $I_{\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i,\aleph_1}$-가측 가능하다' + '서로 다른 실수의 $\omega_1$-수열이 존재한다' 사이의 등치일관성을 증명한다.
• 구성된 모델은 ZF + '모든 정의 가능한 집합이 $I_{\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i,\aleph_1}$-이상에 모odulo하여 보렐이다'를 만족하지만 $AC_{\aleph_0}$를 위반하므로, 더 정교한 일관성 강도 분류가 가능함을 시사한다.
• 포스팅 노션은 모든 일반화된 실수가 조건의 트렁크에 의해 명시적으로 결정되며, 반복 외부에서 새로운 실수를 추가하지 않는다.
• 반복 순서의 코finality는 $>\aleph_1$이며, 이는 모든 일반화된 실수가 이상의 $\aleph_1$개의 보렐 집합으로 커버되지 않음을 보장한다.
• 결과적으로, 서로 다른 실수의 $\omega_1$-수열 존재는 르베그 가측성의 모든 집합과 모순되지만, 강력한 정규성 성질과 일관성이 있음을 보여준다.