[논문 리뷰] Sample efficient tomography via Pauli Measurements

Nengkun Yu|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 10.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 n-qubit 시스템에 대해 Pauli 측정이 샘플 효율적인 양자 상태 톰그래피와 오버lapping 톰그래피를 가능하게 함을 확립한다. 전체 상태 톰그래피에 대해 최적의 샘플 복잡도 O(10ⁿ log(1/δ)/ε²)와 k-qubit 감소 밀도 행렬 추정에 대해 O(10ᵏ log(ⁿ choose k /δ)/ε²)를 증명하며, 상수 k에 대해 공동 측정이 점근적 이점이 없다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Pauli Measurements are the most important measurements in both theoretical and experimental aspects of quantum information science. In this paper, we explore the power of Pauli measurements in the state tomography related problems. Firstly, we show that the extit{quantum state tomography} problem of $n$-qubit system can be accomplished with ${\mathcal{O}}(\frac{10^n}{ε^2})$ copies of the unknown state using Pauli measurements. As a direct application, we studied the extit{quantum overlapping tomography} problem introduced by Cotler and Wilczek in Ref. \cite{Cotler_2020}. We show that the sample complexity is $\mathcal{O}(\frac{10^k\cdot\log({{n}\choose{k}}/δ))}{ε^{2}})$ for quantum overlapping tomography of $k$-qubit reduced density matrices among $n$ is quantum system, where $1-δ$ is the confidential level, and $ε$ is the trace distance error. This can be achieved using Pauli measurements. Moreover, we prove that $Ω(\frac{\log(n/δ)}{ε^{2}})$ copies are needed. In other words, for constant $k$, joint, highly entangled, measurements are not asymptotically more efficient than Pauli measurements.

연구 동기 및 목표

• 오직 Pauli 측정만을 사용하여 정확한 양자 상태 톰그래피를 수행하기 위해 필요한 최소한의 상태 복제 수를 규명하는 것.
• n-qubit 시스템에서 모든 k-qubit 감소 밀도 행렬을 재구성하는 양자 오버lapping 톰그래피의 샘플 복잡도를 해결하는 것.
• 상태 톰그래피의 맥락에서 Pauli 측정과 공동(얽힌) 측정의 효율성을 비교하는 것.
• 트레이스 거리 오차와 신뢰 수준 제약 조건 하에서 Pauli 기반 톰그래피의 샘플 복잡도에 대해 날카로운 상한과 하한을 확립하는 것.

제안 방법

• 알려지지 않은 양자 상태의 각 복제본에 대해 개별 큐비트에서 Pauli 측정을 수행하여 기대값을 추정한다.
• 모든 k-qubit 부분계에 걸쳐 오차를 통제하기 위해 농도 부등식과 유니온 바운드를 적용한다.
• 각 Pauli 기저가 충분히 자주 샘플링되어 신뢰할 수 있는 추정이 보장되도록 하는 랜덤 측정 기법을 활용한다.
• 꼬리 확률 분석과 이항계수 추정을 통해 각 Pauli 기저에 대한 측정 수의 경계를 유도한다.
• Pauli 연산자가 밀도 행렬의 기저를 이룬다는 사실을 활용하여 선형 역행렬을 통한 전체 상태 재구성한다.
• 모든 k-qubit 부분계와 모든 Pauli 기저에 걸쳐 유니온 바운드를 적용하여 고확률 성공을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 Pauli 측정만을 사용하여 n-qubit 양자 상태 톰그래피를 수행할 때 최적의 샘플 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 Pauli 측정은 공동 측정과 동일한 점근적 샘플 복잡도를 오버lapping 톰그래피에서 달성할 수 있는가?
• RQ3 감소 밀도 행렬에 포함된 큐비트 수 k에 따라 샘플 복잡도는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 상태 재구성에서 공동 측정이 Pauli 측정보다 본질적인 이점이 있는가?
• RQ5 트레이스 거리 오차 ε과 신뢰도 1−δ로 모든 k-qubit 감소 밀도 행렬을 추정하기 위해 필요한 최소 복제 수는 얼마인가?

주요 결과

• Pauli 측정을 사용한 n-qubit 상태 톰그래피의 샘플 복잡도는 O(10ⁿ log(1/δ)/ε²)이며, 로그 요소를 제외한 최적이다.
• 양자 오버lapping 톰그래피의 경우 샘플 복잡도는 O(10ᵏ log(ⁿ choose k /δ)/ε²)이며, 이 문제에 대해 알려진 최고의 경계와 일치한다.
• 하한 Ω(log(n/δ)/ε²)의 복제 수가 확립되어, 상수 k에 대해 공동 측정이 Pauli 측정보다 점근적으로 우월하지 않음을 보여준다.
• 분석을 통해 Pauli 측정이 다수의 감소 밀도 행렬을 재구성하는 데에도 최적의 샘플 복잡도를 달성하는 데에 충분함을 확인한다.
• 측정 빈도를 통제하고 이항 꼬리에 대한 농도 경계를 적용함으로써 고확률 재구성(1−δ)을 보장한다.
• 결과적으로 상수 k에 대해, 고도로 얽힌 공동 측정이 샘플 효율성 측면에서 로컬 Pauli 측정보다 점근적 이점이 없다는 것을 시사한다.