[논문 리뷰] Sampling and Counting Edges via Vertex Accesses.

Jakub Tětek, Mikkel Thorup|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 08.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 각 쿼리가 정점의 차수와 이웃을 드러내는 유일한 정점 액세스만을 사용하여 그래프 내 간선을 샘플링하고 세는 데 효율적인 알고리즘을 제시한다. $\epsilon$-균일 간선 샘플링과 $s$개의 간선에 대한 정확한 균일 샘플링에 대해 최적의 기대 시간을 달성하며, 상한과 일치하는 하한을 제공하고, 이전 작업 대비 개선된 쿼리 복잡도로 근사 최적의 간선 수세기 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

We consider the problems of sampling and counting edges from a graph on $n$ vertices where our basic access is via uniformly sampled vertices. When we have a vertex, we can see its degree, and access its neighbors. Eden and Rosenbaum [SOSA 2018] have shown it is possible to sample an edge $\epsilon$-uniformly in $O(\sqrt{1/\epsilon}\frac{n}{\sqrt{m}})$ vertex accesses. Here, we get down to expected $O(\log(1/\epsilon)\frac{n}{\sqrt{m}})$ vertex accesses. Next, we consider the problem of sampling $s>1$ edges. For this we introduce a model that we call hash-based neighbor access. We show that, w.h.p, we can sample $s$ edges exactly uniformly at random, with or without replacement, in $ ilde{O}(\sqrt{s} \frac{n}{\sqrt{m}} + s)$ vertex accesses. We present a matching lower bound of $\Omega(\sqrt{s} \frac{n}{\sqrt{m}} + s)$ which holds for $\epsilon$-uniform edge multi-sampling with some constant $\epsilon>0$ even though our positive result has $\epsilon=0$. We then give an algorithm for edge counting. W.h.p., we count the number of edges to within error $\epsilon$ in time $ ilde{O}(\frac{n}{\epsilon\sqrt{m}} + \frac{1}{\epsilon^2})$. When $\epsilon$ is not too small (for $\epsilon \geq \frac{\sqrt m}{n}$), we present a near-matching lower-bound of $\Omega(\frac{n}{\epsilon \sqrt{m}})$. In the same range, the previous best upper and lower bounds were polynomially worse in $\epsilon$. Finally, we give an algorithm that instead of hash-based neighbor access uses the more standard pair queries (``are vertices $u$ and $v$ adjacent''). W.h.p. it returns $1+\epsilon$ approximation of the number of edges and runs in expected time $ ilde{O}(\frac{n}{\epsilon \sqrt{m}} + \frac{1}{\epsilon^4})$. This matches our lower bound when $\epsilon$ is not too small, specifically for $\epsilon \geq \frac{m^{1/6}}{n^{1/3}}$.

연구 동기 및 목표

• 유일한 정점 액세스만 제공될 때 그래프 내 간선을 샘플링하고 세는 데 효율적인 알고리즘을 설계하기.
• $\epsilon$-균일 간선 샘플링에 대한 쿼리 복잡도를 이전의 $O(\sqrt{1/\epsilon} \cdot n / \sqrt{m})$에서 $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ 기대 정점 액세스로 감소시키기.
• 최적의 쿼리 복잡도를 달성하기 위해 해시 기반 이웃 액세스 모델을 도입하고 활용하여 $s$개의 간선에 대한 정확한 균일 샘플링을 실현하기.
• 정점 액세스 모델 하에서 간선 샘플링 및 수세기의 정보 이론적 한계를 규명하고, 핵심 영역에서 상한과 일치하는 날카로운 하한을 확립하기.
• 표준 쌍 쿼리 모델으로 결과를 확장하여 간선 수세기의 거의 최적의 근사 알고리즘을 제공하기.

제안 방법

• 해시 기반 이웃 액세스 모델을 도입하여 $s$개의 간선에 대한 효율적이고 정확한 균일 샘플링을 가능하게 한다.
• 정점의 차수와 이웃 액세스를 활용하는 새로운 샘플링 전략을 적용하여 $\epsilon$-균일 간선 샘플링을 $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ 기대 정점 액세스로 달성한다.
• 정점 샘플링과 이웃 탐색을 조합하여 상대 오차 $\epsilon$ 이내의 간선 수를 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^2)$ 시간 내에 추정한다.
• 집중 불등식과 확률적 분석을 적용하여 샘플링 및 수세기 결과의 고확률 정확성을 증명한다.
• $\epsilon$-균일 다중샘플링에 대해 $\Omega(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$의 하한을 유도하여 제안된 알고리즘이 최적임을 입증한다.
• 기존 접근을 표준 쌍 쿼리 모델에 적응하여 간선 수세기의 $1+\epsilon$ 근사 알고리즘을 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^4)$ 기대 시간 내에 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일한 정확도 보장을 갖는 이전 방법보다 훨씬 적은 정점 액세스로 간선 샘플링을 수행할 수 있는가?
• RQ2 최적의 쿼리 복잡도를 달성하기 위해 해시 기반 이웃 액세스 모델을 사용하여 $s$개의 간선을 정확히 균일하게 샘플링하는 것이 가능한가?
• RQ3 정점 액세스 모델 하에서 간선 샘플링 및 수세기의 정보 이론적 한계는 무엇인가?
• RQ4 해시 기반 이웃 액세스 모델과 표준 쌍 쿼리 모델 간의 간선 수세기 알고리즘 성능은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 제안된 알고리즘의 상한과 일치하는 날카로운 하한을 간선 샘플링 및 수세기의 경우에 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\epsilon$-균일 간선 샘플링에 대해 $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ 기대 정점 액세스를 달성하여 이전의 $O(\sqrt{1/\epsilon} \cdot n / \sqrt{m})$ 한계를 향상시켰다.
• 해시 기반 이웃 액세스 모델 하에서 $s$개의 간선을 정확히 균일하게 랜덤으로 샘플링하는 알고리즘을 제시하였으며, 이는 중복 허용 여부와 관계없이 $\tilde{O}(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$ 정점 액세스 내에서 수행된다.
• $\epsilon$-균일 다중샘플링에 대해 $\Omega(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$의 일치하는 하한을 확립하여 알고리즘이 최적임을 입증하였다.
• 상대 오차 $\epsilon$ 이내의 간선 수세기의 경우, 알고리즘은 고확률로 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^2)$ 시간 내에 수행된다.
• $\epsilon \geq \sqrt{m}/n$일 경우, $\Omega(n/(\epsilon \sqrt{m}))$의 하한을 증명하였으며, 이는 상한과 로그 인자 외에는 일치한다.
• 표준 쌍 쿼리 모델에서는 $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^4)$ 기대 시간 내에 간선 수세기의 $1+\epsilon$ 근사치를 달성하였으며, $\epsilon \geq m^{1/6}/n^{1/3}$일 경우 하한과 일치한다.