[논문 리뷰] Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasi-interpolation

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 19.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 빈티지 스파ARSE 격자에서 B-스플라인 준보간을 사용하여 비균일 스무스니스를 가진 함수에 대해 渐近적으로 최적의 선형 샘플링 알고리즘과 적분 공식을 구축한다. 빈티지 스파ARSE 격자와 B-스플라인 기반 복원을 활용하여 최적 복원 및 적분 오차의 정확한 渐진적 순서를 확립하고, 최적 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

Let $X_n = \{x^j\}_{j=1}^n$ be a set of $n$ points in the $d$-cube $[0,1]^d$, and $Φ_n = \{φ_j\}_{j =1}^n$ a family of $n$ functions on $[0,1]^d$. We consider the approximate recovery functions $f$ on $[0,1]^d$ from the sampled values $f(x^1), ..., f(x^n)$, by the linear sampling algorithm \begin{equation} onumber L_n(X_n,Φ_n,f) \ := \ \sum_{j=1}^n f(x^j)φ_j. \end{equation} The error of sampling recovery is measured in the norm of the space $L_q([0,1]^d)$-norm or the energy norm of the isotropic Sobolev sapce $W^γ_q([0,1]^d)$ for $0 < q \le \infty$ and $γ> 0$. Functions $f$ to be recovered are from the unit ball in Besov type spaces of an anisotropic smoothness, in particular, spaces $B^a_{p,θ}$ of a nonuniform mixed smoothness $a \in {\mathbb R}^d_+$, and spaces $B^{α,β}_{p,θ}$ of a "hybrid" of mixed smoothness $α> 0$ and isotropic smoothness $β\in \mathbb R$. We constructed optimal linear sampling algorithms $L_n(X_n^*,Φ_n^*,\cdot)$ on special sparse grids $X_n^*$ and a family $Φ_n^*$ of linear combinations of integer or half integer translated dilations of tensor products of B-splines. We computed the asymptotic of the error of the optimal recovery. This construction is based on a B-spline quasi-interpolation representations of functions in $B^a_{p,θ}$ and $B^{α,β}_{p,θ}$. As consequences we obtained the asymptotic of optimal cubature formulas for numerical integration of functions from the unit ball of these Besov type spaces.

연구 동기 및 목표

• 고차원 공간에서 비균일 스무스니스를 가진 함수에 대해 渐진적으로 최적의 선형 샘플링 알고리즘과 적분 공식을 개발한다.
• 스모리악 유형 격자에서 B-스플라인 준보간을 활용한 빈티지 스파ARSE 격자를 구성하여 차원의 저주를 극복한다.
• 혼합 및 비균일 스무스니스를 가진 데스보프 유사 공간의 함수에 대해 $ L_q $ 및 소볼레프 에너지 노름에서 최적 복원 오차의 정확한 渐진적 순서를 유도한다.
• 단위 입방체 $[0,1]^d$ 에서의 수치 적분을 위한 최적 적분 공식의 渐진적 순서를 확립한다.
• 주기적 및 비주기적 함수에 대한 이전 결과를 통합하고 확장하여 비균일 및 혼합 스무스니스 공간에 대한 최적 복원 및 적분을 일반화한다.

제안 방법

• 빈티지 스파ARSE 격자에서 B-스플라인 준보간을 기반으로 유도된 함수 집합 $ \tilde{\boldsymbol{\theta}}_n $ 을 사용하여 선형 샘플링 알고리즘 $ L_n(X_n, \tilde{\boldsymbol{\theta}}_n, f) = \nsum_{j=1}^n f(x^j) \tilde{\theta}_j $ 을 구성한다.
• 스모리악 구성 $ \tilde{\boldsymbol{\theta}}_n = \text{span}\big\backslash\{ \text{B-스플라인의 텐서 곱} \} $ 를 통해 정의된 빈티지 스파ARSE 격자 $ X_n^* $ 를 활용하며, 격점은 $ x^j = 2^{-k}s $ ($ k \neq 0 $, $ s \neq 0 $) 로 표현된다.
• 데스보프 유사 공간 $ B^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ 와 $ B^a_{p,\theta} $ 의 함수를 표현하기 위해 B-스플라인 준보간 표현을 사용하여 안정적이고 정확한 복원을 가능하게 한다.
• 중간화 및 임bedding 정리에 기반하여 $ L_q $ 및 소볼레프 $ W^\nu_q $ 노름에서의 근사 오차 분석을 통해 최적 오차 한계를 도출한다.
• 샘플링 복원과 적분 공식 간의 이중성을 적용하여 복원 핵함수의 적분을 통해 샘플링 알고리즘으로부터 최적의 적분 공식을 유도한다.
• 부등식 $ i_n(W) \leq r_n(W)_1 $ 을 활용하여 최적 복원 오차와 최적 적분 오차 간의 渐진적 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 스무스니스를 가진 함수에 대해 데스보프 유사 공간에서의 최적 샘플링 복원 오차의 渐진적 순서는 무엇인가?
• RQ2 B-스플라인 준보간은 어떻게 빈티지 스파ARSE 격자에서 渐진적으로 최적의 샘플링 알고리즘을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 빈티지 스파ARSE 격자에서 $ B^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ 와 $ B^a_{p,\theta} $ 의 함수에 대한 수치 적분(적분 공식)의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 격자 구조(빈티지 대비 전체)의 선택이 고차원 근사 문제에서 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 비균일 스무스니스의 맥락에서 최적 샘플링 복원 오차와 최적 적분 오차 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 함수 $ f \to B^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ 에 대해 $ L_q({\bf I}^d) $ 또는 $ W^\nu_q({\bf I}^d) $ 에서의 최적 샘플링 복원의 渐진적 순서는 $ \beta > \nu $ 인 경우 $ r_n(U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta}, B^\nu_q) \asymp n^{-\alpha - (\beta - \nu)/d + (1/p - 1/q)_+} $ 이고, $ \beta < \nu $ 인 경우 $ n^{-\alpha - \beta + \nu + (1/p - 1/q)_+} $ 이다.
• $ B^a_{p,\theta} $ 에서 $ a \in \mathbb{R}^d_+ $ 인 경우, 최적 샘플링 복원 오차는 $ r_n(U^a_{p,\theta}, W^\nu_q) \asymp n^{-a_1 + (1/p - 1/q)_+} $ 로서 가장 큰 스무스니스 파라미터 $ a_1 $ 에 의존함을 보여준다.
• $ U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta} $ 에 대한 최적 적분 오차는 $ \beta > 0 $ 인 경우 $ i_n(U^{\boldsymbol{\beta}}_{p,\theta}) \asymp n^{-\alpha - \beta/d + (1/p - 1)_+} $ 이고, $ \beta < 0 $ 인 경우 $ n^{-\alpha - \beta + (1/p - 1)_+} $ 이다.
• $ B^a_{p,\theta} $ 에서의 최적 적분 오차는 $ i_n(U^a_{p,\theta}) \asymp n^{-a_1 + (1/p - 1)_+} $ 로서 수렴 속도가 오직 가장 큰 스무스니스 파라미터 $ a_1 $ 에만 의존함을 보여준다.
• 구축된 샘플링 알고리즘과 적분 공식은 渐진적으로 최적이며, 극한 함수를 통한 이론적 하한선과 일치하는 오차 한계를 갖는다.
• 이 결과들은 이전의 주기적 및 비주기적 함수에 대한 연구를 일반화하고 확장하여, 빈티지 스파ARSE 격자와 B-스플라인 준보간을 활용하여 비균일 및 혼합 스무스니스 공간에 대한 최적 복원 및 적분을 확장한다.