[논문 리뷰] Sampling and interpolation in Bargmann-Fock spaces of polyanalytic functions

Luís Daniel Abreu|ArXiv.org|2009. 01. 28.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 42인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시간-주파수 분석과 가바르 프레임 이론을 활용하여 다항해석 함수의 바르그만-포크 공간에서 격자 샘플링 및 보간 수열을 완전히 특성화한다. 다항해석 Bargmann 변환을 도입하고, 차수 $ n $ 인 공간에서 샘플링은 Beurling 밀도가 $ n $ 초과일 때에만 발생하며, 보간은 그가 $ n $ 미만일 때에만 발생함을 증명한다. 이는 $ n $ 에 대한 날카로운 '니크비스트 속도' 의존성을 드러낸다.

ABSTRACT

Using Gabor analysis, we give a complete characterization of all lattice sampling and interpolating sequences in the Fock space of polyanalytic functions, displaying a "Nyquist rate" which increases with $n$, the degree of polyanaliticity of the space. Such conditions are equivalent to sharp lattice density conditions for certain vector-valued Gabor systems, namely superframes and Gabor super-Riesz sequences with Hermite windows, and in the case of superframes they were studied recently by Gröchenig and Lyubarskii. The proofs of our main results use variations of the Janssen-Ron-Shen duality principle and reveal a duality between sampling and interpolation in polyanalytic spaces, and multiple interpolation and sampling in analytic spaces. To connect these topics we introduce the\emph{polyanalytic Bargmann transform}, a unitary mapping between vector valued Hilbert spaces and polyanalytic Fock spaces, which extends the Bargmann transform to polyanalytic spaces. Motivated by this connection, we discuss a vector-valued version of the Gabor transform. These ideas have natural applications in the context of multiplexing of signals. We also point out that a recent result of Balan, Casazza and Landau, concerning density of Gabor frames, has important consequences for the Gröchenig-Lyubarskii conjecture on the density of Gabor frames with Hermite windows.

연구 동기 및 목표

• 다항해석 함수의 바르그만-포크 공간에서 격자 샘플링 및 보간 수열을 완전히 특성화하는 것.
• 샘플링의 다항해석 포크 공간과 다중 보간의 해석적 포크 공간 사이, 그리고 그 반대의 이중성 관계를 수립하는 것.
• 벡터 값 힐버트 공간과 다항해석 포크 공간 사이의 유니터리 사상으로서의 다항해석 Bargmann 변환을 도입하는 것.
• 헤르미트 창함수를 갖는 벡터 값 시스템으로 가바르 프레임 이론을 확장하여, 특히 슈퍼프레임과 슈퍼리에즈 수열을 다루는 것.
• 헤르미트 창함수를 갖는 가바르 프레임 및 슈퍼프레임의 밀도 조건을 해결하고, 그들이 그로히니히-류바르스키 추측과 연결됨을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 샘플링 및 보간의 이중성 원리를 활용하여 다항해석 포크 공간에서의 샘플링 및 보간을 벡터 값 가바르 시스템과 연결한다.
• 클래식한 Bargmann 변환을 일반화하여 $ L^2(\bbR, \bbC^n) $ 와 $ \bF^n(\bbC) $ 사이의 유니터리 동형사상으로서의 다항해석 Bargmann 변환을 정의한다.
• 헤르미트 창함수를 갖는 슈퍼프레임 및 슈퍼리에즈 수열 이론을 적용하여 가바르 시스템의 밀도 조건을 유도한다.
• 격자 수열 $ Λ = A\bbZ^2 $ 에 대해 Beurling 밀도 $ D(Λ) = |∂ A|^{-1} $ 를 사용하여 샘플링 및 보간을 특성화한다.
• 다항해석 공간 $ \bF^n(\bbC) $ 에서의 샘플링과 해석적 공간 $ \bF^1(\bbC) $ 에서의 다중 보간 사이, 그리고 보간과 다중 샘플링 사이의 이중성을 활용한다.
• 리에프엘-라마나단-스테거 정리와 스칼라 값 론-쉔 이중성 원리를 적용하여 진정한 다항해석 공간 $ \cF^{n-1}(\bbC) $ 에서의 보간에 필요한 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항해석 함수의 차수 $ n $ 인 바르그만-포크 공간에서 격자 $ \Gamma $ 가 샘플링 수열이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 동일한 공간에서 격자 $ \Gamma $ 가 보간 수열이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 다항해석 포크 공간에서의 샘플링 및 보간은 고전적 해석 포크 공간에서의 다중 샘플링 및 다중 보간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 헤르미트 창함수를 갖는 가바르 슈퍼프레임 및 슈퍼리에즈 수열의 밀도 조건을 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ5 그로히니히와 류바르스키의 가바르 프레임에 대한 허르미트 창함수의 밀도에 관한 추측은 이 논문의 결과에 의해 지지되는가?

주요 결과

• 격자 $ \Gamma $ 는 $ \bF^n(\bbC) $ 에 대해 샘플링 수열이 되기 위한 필요 및 충분 조건으로서 Beurling 밀도 $ D(\Gamma) > n $ 를 만족할 때에만 성립한다.
• 격자 $ \Gamma $ 는 $ \bF^n(\bbC) $ 에 대해 보간 수열이 되기 위한 필요 및 충분 조건으로서 Beurling 밀도 $ D(\Gamma) < n $ 를 만족할 때에만 성립한다.
• 다항해석 공간 $ \bF^n(\bbC) $ 에서의 샘플링과 해석 공간 $ \bF^1(\bbC) $ 에서의 다중 보간 사이, 그리고 보간과 다중 샘플링 사이의 이중성 관계가 엄밀히 증명되었다.
• 다항해석 Bargmann 변환은 $ L^2(\bbR, \bbC^n) $ 에서 $ \bF^n(\bbC) $ 로의 유니터리 사상으로서 정의되며, 고전적 Bargmann 변환을 다항해석 함수로 일반화한다.
• 결과적으로 허르미트 창함수를 갖는 가바르 슈퍼프레임의 밀도 기준이 날카로우며 $ n $ 에 따라 증가함을 확인하였고, 이는 그로히니히-류바르스키 추측을 지지한다.
• 진정한 다항해석 공간 $ \cF^{n-1}(\bbC) $ 에서는 샘플링에 대해 충분 조건으로 $ D(\Lambda) > n $ 이고, 보간에 대해 필수 조건으로 $ D(\Lambda) < n $ 이지만, 후자는 날카롭지 않다.