[논문 리뷰] Sampling-based verification of Lyapunov's inequality for piecewise continuous nonlinear systems

Ruxandra Bobiti, Mircea Lazar|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 01.

Control Systems and Identification참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 비선형 시스템의 라플라스 부등식을 검증하기 위해 샘플링 기반의 분산형 방법을 제안한다. 이 방법은 유한한 다중 해상도 샘플링을 통해 초기 상태의 감소 조건을 점검하고, 연속성에 의해 결과를 확장함으로써 대규모 최적화를 피한다. 이 접근법은 초직사각형 샘플링 블록을 사용하여 대규모 최적화를 피하고, 이로써 이산 및 연속 시간 시스템에 대해 확장 가능하고 공식적인 안정성 검증이 가능해지며, 안정 영역 추정도 보장한다.

ABSTRACT

This paper considers a sampling-based approach to stability verification for piecewise continuous nonlinear systems via Lyapunov functions. Depending on the system dynamics, the candidate Lyapunov function and the set of initial states of interest, one generally needs to handle large, possibly non-convex or non-feasible optimization problems. To avoid such problems, we propose a constructive and systematically applicable sampling-based method to Lyapunov's inequality verification. This approach proposes verification of the decrease condition for a candidate Lyapunov function on a finite sampling of a bounded set of initial conditions and then it extends the validity of the Lyapunov function to an infinite set of initial conditions by automatically exploiting continuity properties. This result is based on multi-resolution sampling, to perform efficient state- space exploration. Using hyper-rectangles as basic sampling blocks, to account for different constraint scales on different states, further reduces the amount of samples to be verified. Moreover, the verification is decentralized in the sampling points, which makes the method scalable. The proposed methodology is illustrated through examples.

연구 동기 및 목표

• 고차원, 비볼록 또는 해석이 어려운 시스템에서 기존 최적화 기반 라플라스 함수 검증의 확장성 및 실행 가능성 문제를 해결하기 위해.
• 대규모 전역 최적화 문제를 풀지 않고도 구축 가능하고 결정론적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 유한 샘플 검증을 연속성으로 확장하여 비선형 시스템의 조각별 연속성에 대한 공식적 안정성 분석을 가능하게 하기 위해.
• 통합된 샘플링 기반 검증 접근법을 통해 이산 및 연속 시간 시스템에 대해 확장 가능하고 분산형 계산이 가능한 공식적 보장을 제공하기 위해.
• 실세계 시스템인 파wr트레인 제어와 같은 시스템에 대해 비볼록이고 검증 가능한 안정 영역(DOA)을 계산하기 위해.

제안 방법

• 유한한 다중 해상도 샘플링을 통해 유계 집합 $ \mathcal{S} \subset \mathbb{R}^n $ 내에서 라플라스 감소 조건 $ V(G^k(x)) - \rho(V(x)) < 0 $ 를 검증한다. 여기서 $ G $ 는 시스템 매핑이고 $ \rho $ 는 비교 함수이다.
• 다른 상태 제약 척도에 적응하기 위해 초직사각형을 샘플링 블록으로 사용하여 필요한 샘플 수를 감소시킨다.
• 샘플링 포인트 간의 분산 계산을 통해 전역 최적화 없이도 병렬 및 확장 가능한 계산이 가능하다.
• 연속성 특성을 활용하여 유한한 샘플에서의 라플라스 조건의 타당성을 불가측한 무한한 초기 상태 집합으로 확장한다.
• 연속 시간 시스템의 경우, 방법은 오일러 이산화된 시스템에 적용되며 결과는 원래 연속 시스템에서 검증된다.
• 레벨셋 계산 알고리즘을 사용하여 샘플된 집합에 포함된 가장 큰 불변 집합 $ \mathbb{W} $ 를 계산함으로써 검증 가능한 안정 영역을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 비볼록 최적화 문제를 풀지 않고도 조각별 연속 비선형 시스템에 대해 라플라스 부등식을 검증할 수 있는가?
• RQ2 유한한 샘플링을 어떻게 사용하여 연속성에 기반해 무한한 초기 조건 집합에 대한 안정성을 검증할 수 있는가?
• RQ3 어떤 샘플링 전략이 고차원 상태 공간의 효율적이고 확장 가능하며 적응 가능한 탐색을 가능하게 하는가?
• RQ4 이 방법은 이산 및 연속 시간 시스템에 대해 공식적 보장을 제공하면서 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 제안된 접근법은 실세계 시스템인 파워트레인 제어와 같은 시스템에 대해 비볼록이고 검증 가능한 안정 영역을 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 3차원 파워트레인 제어 시스템에 대해 레벨셋 $ \overline{L} = 0.0209 $ 를 가진 검증 가능한 안정 영역 $ \mathbb{W} $ 를 성공적으로 계산하여 공기 대 연료 비율이 최적값의 10% 이내로 유지됨을 보장했다.
• 전역 최적화를 피하기 위해 분산형 유한 샘플 검증과 연속성 기반 확장을 사용하여 고차원 시스템으로의 확장 가능성을 확보했다.
• 다중 해상도 초직사각형 샘플링은 다양한 상태 제약 척도를 고려하면서도 필요한 샘플 수를 감소시켰다.
• 모든 $ x \in \mathcal{S} $ 에 대해 $ V(G^3(x)) - 0.999V(x) < 0 $ 이 성립함을 보장하며, 여기서 $ \mathcal{S} $ 는 검증된 집합과 검증된 집합 $ \mathcal{A} $ 의 합집합이다.
• 최종 라플라스 함수 $ W(x) = \sum_{i=0}^{2} G^i(x)^T P G^i(x) $ 는 이산화된 시스템과 원래 연속 시간 시스템 양쪽의 안정 영역의 부분집합인 비볼록 불변 집합 $ \mathbb{W} $ 를 생성한다.
• 실세계 파워트레인 시스템에서 검증을 통해 이 방법이 공식적이고 확장 가능하며 실용적인 안정성 보장을 제공할 수 있음을 입증했다.