[논문 리뷰] Sampling on energy-norm based sparse grids for the optimal recovery of Sobolev type functions in $H^\gamma$

Glenn Byrenheid, Ðinh Dũng외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 15.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 에너지 노름 기반 희소 격자와 스몰리악의 알고리즘을 사용하여 $H^\gamma$에서 소벨레프 유형의 함수를 최적 복원하는 데 있어 샘플링 수의 날카운 다항수 감쇠율을 확립한다. 임베딩 $H^{\alpha,\beta}(T^d) \hookrightarrow H^\gamma(T^d)$에 대해 $\gamma > \beta$일 때 샘플링 수가 근사 수와 동일한 渐近 순서 $m^{-(\alpha + \beta - \gamma)}$를 가지며, 로그 인자 없이, 이에 따라 이러한 부드러움 조건 하에서 샘플링 방법의 최적성 확인.

ABSTRACT

We investigate the rate of convergence of linear sampling numbers of the embedding $H^{\alpha,\beta} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow H^\gamma (\mathbb{T}^d)$. Here $\alpha$ governs the mixed smoothness and $\beta$ the isotropic smoothness in the space $H^{\alpha,\beta}(\mathbb{T}^d)$ of hybrid smoothness, whereas $H^{\gamma}(\mathbb{T}^d)$ denotes the isotropic Sobolev space. If $\gamma>\beta$ we obtain sharp polynomial decay rates for the first embedding realized by sampling operators based on "energy-norm based sparse grids" for the classical trigonometric interpolation. This complements earlier work by Griebel, Knapek and D\~ung, Ullrich, where general linear approximations have been considered. In addition, we study the embedding $H^\alpha_{mix} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow H^{\gamma}_{mix}(\mathbb{T}^d)$ and achieve optimality for Smolyak's algorithm applied to the classical trigonometric interpolation. This can be applied to investigate the sampling numbers for the embedding $H^\alpha_{mix} (\mathbb{T}^d) \hookrightarrow L_q(\mathbb{T}^d)$ for $2<q\leq \infty$ where again Smolyak's algorithm yields the optimal order. The precise decay rates for the sampling numbers in the mentioned situations always coincide with those for the approximation numbers, except probably in the limiting situation $\beta = \gamma$ (including the embedding into $L_2(\mathbb{T}^d)$). The best what we could prove there is a (probably) non-sharp results with a logarithmic gap between lower and upper bound.

연구 동기 및 목표

• 토러스 위의 하이브리드 및 등방성 소벨레프 공간 간 임베딩에 대한 선형 샘플링 수의 渐近 감쇠율을 조사한다.
• $H^{\alpha,\beta}(T^d)$에 속하는 함수에 대해 에너지 노름 기반 희소 격자를 사용한 샘플링 복원의 최적성 확립.
• 스몰리악의 알고리즘을 사용하여 혼합 부드러움 설정에서 $H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d) \to H^{\gamma}_{\text{mix}}(T^d)$ 임베딩을 분석하고 $L^q$-노름에서 샘플링 수를 복원한다.
• 샘플링 수와 근사 수를 비교하고 임계 경우 $\gamma = \beta$에서의 로그 간격을 해결한다.

제안 방법

• 삼각함수 보간을 위한 샘플링 연산자를 $H^\gamma(T^d)$에서 구성하기 위해 에너지 노름 기반 희소 격자를 사용한다.
• 혼합 부드러움 설정에서 최적 수렴 속도를 달성하기 위해 스몰리악의 알고리즘을 적용한다.
• 소벨레프 공간 간의 순환도를 포함하는 교환 다이어그램을 활용하여 다양한 임베딩 간의 근사 수를 연결한다.
• $H^\gamma$-노름에서의 추상적 선형 $n$-폭넓이와 베르누이 유형 부등식을 이용해 하한을 유도한다.
• [9]의 근사 수 결과와 새로운 샘플링 추정치를 조합하여 날카운 渐近 동치를 확립한다.
• 고전적 삼각함수 보간과 산재한 점에서의 함수 평가를 이용해 샘플링 연산자를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\gamma > \beta$일 때 임베딩 $H^{\alpha,\beta}(T^d) \to H^\gamma(T^d)$에 대한 샘플링 수의 정확한 渐近 감쇠율은 무엇인가?
• RQ2 스몰리악의 알고리즘이 $H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d)$에 속하는 함수에 대해 최적의 샘플링 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 $\gamma = \beta$인 경우 샘플링 수는 근사 수와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 임계 경우 $\gamma = \beta$에서의 로그 간격은 날카로운가, 아니면 닫을 수 있는가?
• RQ5 에너지 노름 기반 희소 격자는 최적 수렴을 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\gamma > \beta$일 경우 샘플링 수는 $g_m(I_1) \asymp m^{-(\alpha + \beta - \gamma)}$를 만족하며, 로그 인자 없이 근사 수와 정확히 일치한다.
• $H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d) \to H^{\gamma}_{\text{mix}}(T^d)$에 대한 샘플링 수는 스몰리악의 알고리즘을 통해 최적 속도 $m^{-(\alpha - \gamma)}(\log m)^{(d-1)(\alpha - \gamma)}$를 달성한다.
• $H^{\alpha}_{\text{mix}}(T^d) \to L^2(T^d)$ 임베딩에 대해 샘플링 수는 $g_m(I_3) \lesssim m^{-\alpha}(\log m)^{(d-1)(\alpha + 1/2)}$를 만족하며, 기존 최고의 상한과 일치한다.
• 임계 경우 $\gamma = \beta$에서는 샘플링 수가 $m^{-\alpha}(\log m)^{(d-1)\alpha} \lesssim g_m(I_2) \lesssim m^{-\alpha}(\log m)^{(d-1)(\alpha + 1/2)}$를 만족하여 로그 간격이 존재함을 시사한다.
• 논문은 $\gamma > \beta$ 조건 하에서 샘플링 수와 근사 수가 동일한 감쇠율을 가지며, 수렴 속도에서 동치임을 확인한다.
• 결과는 고전적 삼각함수 보간과 에너지 노름 기반 희소 격자를 사용하여 도출되었으며, 이러한 구성이 최적의 복원 체계를 제공함을 보여준다.