[논문 리뷰] Satisfaction classes in nonstandard models of first-order arithmetic

Fredrik Engström|arXiv (Cornell University)|2002. 09. 30.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기호에 함수 기호가 포함된 언어를 사용하여 비표준 문장에 Tarski의 참의 정의를 확장함으로써 비표준 일阶 산술 모델에서 만족 클래스에 대한 정련된 프레임워크를 제시한다. 가산 모델이 전체 만족 클래스를 가질 수 있는 조건은 그 모델이 재귀적으로 포화되어 있을 때이며, 이는 Kotlarski, Krajewski, Lachlan의 고전적 결과를 일반화한다. 비표준 항에 대한 존재적 가정을 제거하기 위해 자유 만족 클래스라는 새로운 개념을 도입하였고, 경로성 문제를 분석하며 참의 정의를 강화하기 위한 논리적 확장을 제안한다.

ABSTRACT

A satisfaction class is a set of nonstandard sentences respecting Tarski's truth definition. We are mainly interested in full satisfaction classes, i.e., satisfaction classes which decides all nonstandard sentences. Kotlarski, Krajewski and Lachlan proved in 1981 that a countable model of PA admits a satisfaction class if and only if it is recursively saturated. A proof of this fact is presented in detail in such a way that it is adaptable to a language with function symbols. The idea that a satisfaction class can only see finitely deep in a formula is extended to terms. The definition gives rise to new notions of valuations of nonstandard terms; these are investigated. The notion of a free satisfaction class is introduced, it is a satisfaction class free of existential assumptions on nonstandard terms. It is well known that pathologies arise in some satisfaction classes. Ideas of how to remove those are presented in the last chapter. This is done mainly by adding inference rules to M-logic. The consistency of many of these extensions is left as an open question.

연구 동기 및 목표

• 기호에 함수 기호가 포함된 언어에서 일阶 산술의 비표준 모델에 대한 만족 클래스의 종합적 프레임워크를 개발하는 것.
• 전체 만족 클래스의 존재 조건을 명확히 하여, 가산 모델에서 그 존재성이 재귀적 포화와 동치임을 증명하는 것.
• 비표준 항에 대한 존재적 가정이 필요로 하지 않는 자유 만족 클래스를 도입하고 분석하는 것.
• 타투로지컬 디줄렉션(거짓의 논리합)과 같은 만족 클래스의 경로성 문제들을 해결하기 위해 추론 규칙을 갖춘 논리적 확장을 제안하는 것.
• $\mathfrak{M}$-논리와 템플릿 논리와 같은 확장된 논리의 일致성과 구조를 연구함으로써 잘 정의된 만족 클래스를 구성하는 것.

제안 방법

• 모델의 원소와 문장의 쌍을 사용하여 만족 클래스를 재구성함으로써, 비표준 문장에 대해 Tarski의 인덕티브 조건을 만족시키는 참의 정의를 보장하는 것.
• $\mathfrak{M}$-논리를 만족 클래스를 생성하기 위한 형식 체계로 도입하며, 증명 이론적 높이와 타당성 성질을 갖춤.
• $\mathfrak{M}$-논리와 템플릿 논리를 연결하여, 모델 이론적 구성 방법을 통해 일치성 결과를 증명하는 것.
• 비표준 항에 대해 $\exists x(t=x)$가 참이 되어야 한다는 가정이 필요로 하지 않는 자유 만족 클래스를 정의함으로써, 보다 자연스러운 참의 정의를 가능하게 하는 것.
• $\mathfrak{M}$-논리를 비표준 문장 논리적 추론 또는 기초 논리적 추론에 대해 닫혀 있도록 하는 추론 규칙을 추가하여, 만족 클래스의 경로성을 제거하고자 하는 것.
• 재귀적 포화와 재진성(Resplendency)을 사용하여, 만족 클래스가 존재하고 원하는 닫힘 성질을 만족하는 모델를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 PA 모델가 전체 만족 클래스를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비표준 항에 대한 존재적 가정을 피하는 자유 만족 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ3 모든 가산 재귀적 포화된 PA 모델에서 비표준 문장 논리적 또는 일阶 논리적 증명 가능성을 닫는 만족 클래스가 존재하는가?
• RQ4 비표준 문장 논리적 또는 기초 논리적 증명 가능성을 닫는 $\mathfrak{M}$-논리의 확장판의 일치성 상태는 어떠한가?
• RQ5 템플릿 논리나 자유 $\mathfrak{M}$-논리와 같은 논리 체계를 통해 만족 클래스의 구조를 완전히 특징화할 수 있는가?

주요 결과

• 가산 PA 모델가 전체 만족 클래스를 가질 수 있는 것은 그 모델가 재귀적으로 포화되어 있을 때에 한하여 성립하며, 이는 Kotlarski, Krajewski, Lachlan의 고전적 결과를 일반화한다.
• 함수 기호가 포함된 언어에서 만족 클래스의 새로운 유연한 구성법을 제시하며, 항을 만족 클래스가 유한 깊이만 검사할 수 있도록 다루는 방식을 취한다.
• 비표준 항에 대한 존재적 가정이 필요로 하지 않는 자유 만족 클래스를 도입하여 기존 만족 클래스의 자연스러운 대체를 제공한다.
• 논문은 일반적으로 $\mathfrak{M}$-논리가 일치하지 않음을 보이며, 그러나 템플릿 논리와의 연결 및 모델 이론적 의미론을 통해 그 일치성을 확립할 수 있음을 보여준다.
• 0 ≠ 0의 타투로지컬 디줄렉션과 같은 병리적 공식들은 $\mathfrak{M}$-논리를 적절한 추론 규칙으로 확장함으로써 제거할 수 있음을 보여준다.
• 비표준 반복적 스타트 항이 임의의 비표준 상수와 같아지는 만족 클래스의 존재를 입증함으로써, 이 프레임워크의 표현력을 보여준다.