[논문 리뷰] Satisfaction is not absolute

Joel David Hamkins, Ruizhi Yang|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 03.

Philosophy and Theoretical Science참고 문헌 13인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 일阶논리에서의 만족 관계가 집합론의 모델들 사이에서 절대적이지 않음을 보여준다. 이는 두 모델이 동일한 수학적 구조(예: 자연수 또는 랭크 초기 조각)를 공유하더라도, 그 안에서 참인 것에 대해 의견이 다를 수 있음을 의미한다. 이는 구조의 명확성( definiteness )이 그 이론적 진리의 명확성( definiteness )을 암시한다는 가정을 도전한다.

ABSTRACT

We prove that the satisfaction relation $\mathcal{N}\modelsφ[\vec a]$ of first-order logic is not absolute between models of set theory having the structure $\mathcal{N}$ and the formulas $φ$ all in common. Two models of set theory can have the same natural numbers, for example, and the same standard model of arithmetic $\langle\mathbb{N},{+},{\cdot},0,1,{\lt} angle$, yet disagree on their theories of arithmetic truth; two models of set theory can have the same natural numbers and the same arithmetic truths, yet disagree on their truths-about-truth, at any desired level of the iterated truth-predicate hierarchy; two models of set theory can have the same natural numbers and the same reals, yet disagree on projective truth; two models of set theory can have the same $\langle H_{ω_2},{\in} angle$ or the same rank-initial segment $\langle V_δ,{\in} angle$, yet disagree on which assertions are true in these structures. On the basis of these mathematical results, we argue that a philosophical commitment to the determinateness of the theory of truth for a structure cannot be seen as a consequence solely of the determinateness of the structure in which that truth resides. The determinate nature of arithmetic truth, for example, is not a consequence of the determinate nature of the arithmetic structure $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ itself, but rather, we argue, is an additional higher-order commitment requiring its own analysis and justification.

연구 동기 및 목표

• 수학적 구조(예: 자연수)의 명확성이 그 일阶논리적 진리 이론의 명확성을 암시한다는 철학적 가정을 도전하기 위해.
• 수학적으로, 집합론의 모델들이 동일한 구조(예: ℕ, ℝ, 또는 Vδ)를 공유하나, 그 안에서의 참에 대해 의견이 다를 수 있음을 보여주기 위해.
• 산술적 또는 집합론적 진리의 결정성은 기초적인 구조의 결정성의 논리적 결과가 아니며, 별개의 고차원 철학적 약속이 필요하다고 주장하기 위해.
• 두 모델이 표준 산술 모델이나 실수에 대해 동의하더라도, 반복된 참 예측자 계층 또는 프로젝티브 참에 대해 의견이 다를 수 있음을 보여주기 위해.
• 수학적 대상의 명확성과 그 이론 내에서의 참의 명확성 사이를 구분할 수 있는 공식적 기반을 제공하여, 이 둘을 동일시하는 견해를 반박하기 위해.

제안 방법

• 동일한 구조(예: ⟨ℕ, +, ⋅, 0, 1, <⟩)를 공유하는 집합론의 모델들을 구성하여, 특정 일阶논리 공식의 만족에 대해 의견이 다름을 보여주기 위해.
• 강제법(forcing)과 내부 모델 기법을 사용하여, 동일한 자연수나 실수를 공유하지만 산술 또는 프로젝티브 참 이론이 다른 ZFC의 모델들을 생성하기 위해.
• 초등 임bedding과 순서수의 순서초기 조각(Vδ) 개념을 적용하여, 이러한 구조에서의 만족가 절대적이지 않음을 보여주기 위해.
• 두 모델이 Hω₂ 또는 Vδ를 동일한 구조로 공유하더라도, 그것들이 ZFC를 만족한다고 판단하는 데서 의견이 다를 수 있음을 보여주기 위해.
• 반복된 참 예측자 계층을 사용하여, 모델들이 산술적 참에 대해 동의하나, 더 높은 수준의 참-에-참에 대해 의견이 다를 수 있음을 보여주기 위해.
• 정의 가능한 부분집합과 만족의 비절대성 개념을 사용하여, 어떤 자기동형사상도 의견 불일치를 해결할 수 없음을 보여주고, 따라서 의미적 모호성이 원인임을 배제하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 집합론 모델이 동일한 표준 산술 모델을 공유하나, 그 안에서 참인 일阶논리 문장에 대해 의견이 다를 수 있는가?
• RQ2 ℕ 또는 ℝ와 같은 구조에서 문장의 참은, 그 구조를 동일하게 공유하는 집합론 모델들 사이에서 절대적인가?
• RQ3 집합론 모델들이 실수를 공유하나, 프로젝티브 문장의 참에 대해 의견이 다를 수 있는가?
• RQ4 Vδ 또는 Hω₂와 같은 구조에서 공식의 만족는, 그 구조를 공유하는 모델들 사이에서 절대적인가?
• RQ5 수학적 구조의 명확성이 그 일阶논리적 진리 이론의 명확성으로 논리적으로 유도되는가?

주요 결과

• 두 집합론 모델이 동일한 자연수와 동일한 표준 산술 모델 ⟨ℕ, +, ⋅, 0, 1, <⟩를 공유하나, 그 안에서 참인 일阶논리 산술 문장에 대해 의견이 다를 수 있다.
• 모델들이 실수와 이차 산술의 구조를 공유하나, 프로젝티브 문장의 참에 대해 의견이 다를 수 있다.
• 동일한 전이적 랭크 초기 조각 Vδ를 공유하고, 그것이 ZFC를 만족한다고 동의하나, 만족 관계의 관점에서 ZFC를 만족하는지에 대해 의견이 다를 수 있다.
• 동일한 Hω₂ 구조를 공유하나, 그것 안에서 참인 문장에 대해 의견이 다를 수 있다. 이는 만족가 이와 같은 고차 구조에서도 절대적이지 않음을 보여준다.
• 공식 φ에 대한 만족 관계 φ ∈ Sat(⟨M, ∈⟩, φ)는, M과 φ가 둘 다 동일한 두 모델 사이에서도 절대적이지 않다.
• 논문은 진리의 명확성이 구조 자체의 명확성에서 유도될 수 없다는 것을 확립하며, 별개의 철학적 약속이 필요하다고 보여준다.