[논문 리뷰] Sato-Tate theorem for families and low-lying zeros of automorphic $L$-functions

Sug Woo Shin, Nicolas Templier|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 09.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 리만-망스 추론 원리와 재구성군 위에서의 조화 해석을 사용하여 수체 위의 자동형 표현 가중치에 대한 정량적 사토-테이트 등분포 정리 수립. 관련 L-함수의 낮은 빛의 영점 분포는 가환군, 심플렉틱군, 또는 직교군에 따라 다름 — 이는 갈루아 표현의 프로비니우스-슐루르 지표에 따라 결정되며, 카츠-사르나크 히ュ리스틱을 광범위한 자동형 설정에서 확인함.

ABSTRACT

We consider certain families of automorphic representations over number fields arising from the principle of functoriality of Langlands. Let $G$ be a reductive group over a number field $F$ which admits discrete series representations at infinity. Let $^{L}G=\\hat G \ times \\mathrm{Gal}(\\bar F/F)$ be the associated $L$-group and $r:{}^L G\ o \\mathrm{GL}(d,\\mathbb{C})$ a continuous homomorphism which is irreducible and does not factor through $\\mathrm{Gal}(\\bar F/F)$. The families under consideration consist of discrete automorphic representations of $G(\\mathbb{A}_F)$ of given weight and level and we let either the weight or the level grow to infinity. We establish a quantitative Plancherel and a quantitative Sato-Tate equidistribution theorem for the Satake parameters of these families. This generalizes earlier results in the subject, notably of Sarnak [Progr. Math. 70 (1987), 321--331.] and Serre [J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), no. 1, 75--102.]. As an application we study the distribution of the low-lying zeros of the associated family of $L$-functions $L(s,\\pi,r)$, assuming from the principle of functoriality that these $L$-functions are automorphic. We find that the distribution of the 1-level densities coincides with the distribution of the 1-level densities of eigenvalues of one of the Unitary, Symplectic and Orthogonal ensembles, in accordance with the Katz-Sarnak heuristics. We provide a criterion based on the Frobenius--Schur indicator to determine this Symmetry type. If $r$ is not isomorphic to its dual $r^\\vee$ then the Symmetry type is Unitary. Otherwise there is a bilinear form on $\\mathbb{C}^d$ which realizes the isomorphism between $r$ and $r^\\vee$. If the bilinear form is symmetric (resp. alternating) then $r$ is real (resp. quaternionic) and the Symmetry type is Symplectic (resp. Orthogonal).

연구 동기 및 목표

• 함수적 이론과 조화 해석을 사용하여 수체 위의 자동형 표현 가중치에 대한 사토-테이트 등분포를 일반화함.
• 성장하는 수준 또는 무게를 가진 가중치에서의 Satake 매개변수에 대한 정량적 플랑커르 측도와 사토-테이트 등분포를 수립함.
• 관련 갈루아 표현의 프로비니우스-슐루르 지표를 통해 L-함수의 낮은 빛의 영점 분포의 대칭 유형(유니터리, 심플렉틱, 또는 직교)을 규명함.
• 기존의 함수체 및 고전적 경우에서의 결과를 확장하여 수체 설정에서의 카츠-사르나크 히ュ리스틱에 대한 이론적 기초를 제공함.

제안 방법

• 리만-망스 추론 원리를 사용하여 고정된 무게와 수준을 가진 G(\mathbb{A}_F)의 이산 자동형 표현 가중치를 구성함.
• 트레이스 공식과 재구성군 위의 조화 해석을 적용하여 비분해 스펙트럼 위의 정량적 플랑커르 측도를 유도함.
• Satake 변환과 궤도 적분 추정을 사용하여 가중치 내의 Satake 매개변수 분포를 제어함.
• 자연적인 측도에 대해 \widehat{T}/\Omega 위에서 Satake 매개변수의 등분포를 확립함 — 이는 사르나크와 세르의 이전 결과를 일반화함.
• 모티빅 적분 이론과 정의 가능한 집합을 활용하여 가중치 전반에 걸쳐 궤도 적분을 균일하게 유 bounds함.
• 표현 r의 프로비니우스-슐루르 지표를 사용하여 낮은 빛의 영점 분포의 대칭 유형을 분류함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성장하는 수준 또는 무게를 가진 자동형 표현 가중치 내에서 Satake 매개변수의 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 L(s,\pi,r)의 낮은 빛의 영점은 어느 정도까지 무작위 행렬 집합의 1-레벨 밀도를 따르는가?
• RQ3 이러한 가중치 내에서 낮은 빛의 영점 분포의 대칭 유형(유니터리, 심플렉틱, 또는 직교)은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 함수적 이론을 사용하여 일반적인 재구성군에 대해 수체 위에서 사토-테이트 등분포를 정량적으로 확립할 수 있는가?
• RQ5 등분포 및 밀도 정리에 기여하기 위해 가중치 전반에 걸쳐 궤도 적분의 균일한 바OUNDS를 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 가중치 내 자동형 표현의 Satake 매개변수는 자연적인 측도에 대해 \widehat{T}/\Omega 위에서 등분포하며, 고전적 사토-테이트 추측을 일반화함.
• L(s,\pi,r)의 낮은 빛의 영점의 1-레벨 밀도는 r의 프로비니우스-슐루르 지표에 따라 유니터리, 심플렉틱, 또는 직교 집합의 밀도와 일치함.
• r가 자기쌍대가 아니면 대칭 유형은 유니터리; r \cong r^\vee 이고 불변 형식이 대칭(또는 반대칭)이면 유형은 심플렉틱(또는 직교)임.
• 논문은 비분해 스펙트럼에 대해 명시적 오차 한계를 가진 정량적 플랑커르 측도를 제공하며, 사르나크와 세르의 결과를 확장함.
• 모티빅 적분과 정의 가능한 집합을 통해 궤도 적분에 대한 균일한 바OUNDS를 확립함으로써, 양의 특성에서 0 특성으로의 바OUNDS 전이가 가능해짐.
• 주요 결과는 광범위한 자동형 맥락에서 카츠-사르나크 히ュ리스틱을 확인하며, 표현 이론적 불변량을 기반으로 한 대칭 유형에 대한 기준을 제공함.