[논문 리뷰] Saturated Sets for Nonuniformly Hyperbolic Systems

Chao Liang, Gang Liao외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 27.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $C^{1+\beta}$ 미분형상에서 에르고딕한 쌍곡성 측도 $\omega$ 를 가질 경우, 전체 측도 집합 $\widetilde{\Lambda}$ 가 존재하여, $\widetilde{\Lambda}$ 위의 모든 $f$-불변 측도 $\mu$ 에 대해 그의 포화집합 $G_\mu$ 의 위상적 엔트로피가 메트릭 엔트로피 $h_\mu(f)$ 와 일치함을 보여준다. 또한, 콤팩트한 측도 집합 $K$ 의 포화집합 위상 엔트로피는 그 측도들에 대한 메트릭 엔트로피의 하한과 같음을 보이며, 카토크, 마냐, 보나티-비아나의 비균일 쌍곡성 시스템을 포함한 비균일 쌍곡성 시스템으로의 확장이 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we prove that for an ergodic hyperbolic measure $\omega$ of a $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism $f$ on a Riemannian manifold $M$, there is an $\omega$-full measured set $\widetilde{\Lambda}$ such that for every invariant probability $\mu\in \mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$, the metric entropy of $\mu$ is equal to the topological entropy of saturated set $G_{\mu}$ consisting of generic points of $\mu$: $$h_\mu(f)=h_{ op}(f,G_{\mu}).$$ Moreover, for every nonempty, compact and connected subset $K$ of $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ with the same hyperbolic rate, we compute the topological entropy of saturated set $G_K$ of $K$ by the following equality: $$\inf\{h_\mu(f)\mid \mu\in K\}=h_{ op}(f,G_K).$$ In particular these results can be applied (i) to the nonuniformy hyperbolic diffeomorphisms described by Katok, (ii) to the robustly transitive partially hyperbolic diffeomorphisms described by ~Ma{\~{n}}{\'{e}}, (iii) to the robustly transitive non-partially hyperbolic diffeomorphisms described by Bonatti-Viana. In all these cases $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ contains an open subset of $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$.

연구 동기 및 목표

• 비균일 쌍곡성 시스템에서 포화집합의 메트릭 엔트로피와 위상 엔트로피 사이의 정확한 관계를 규명하는 것.
• 이 엔트로피 일치가 모든 불변 측도에 대해 성립하는 전체 측도 집합 $\widetilde{\Lambda}$ 를 식별하는 것.
• 균일한 쌍곡성 속도를 가진 불변 측도의 콤팩트하고 연결된 부분집합에 대해 포화집합의 위상 엔트로피를 계산하는 것.
• 기존의 엔트로피 구조 이론을 더 넓은 범위의 비균일 쌍곡성 미분형상으로 확장하는 것.
• 이 틀이 카토크의 비균일 쌍곡성 시스템, 마냐의 강건하게 전이 가능한 부분 쌍곡성 시스템, 보나티-비아나의 강건하게 전이 가능한 비부분 쌍곡성 시스템과 같은 주요 예시에 적용 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• 에르고딕한 쌍곡성 측도 $\omega$ 를 가진 $M$ 에 대해 전체 측도 집합 $\widetilde{\Lambda} \subset M$ 을 구성하여, $\widetilde{\Lambda}$ 위의 모든 불변 측도가 동역학에 대해 잘 행동함을 보장하는 것.
• 각 불변 측도 $\mu$ 에 대해 비르호프의 에르고딕 정리에 따라 포화집합 $G_\mu$ 를 정의하는 것.
• 시스템의 쌍곡성과 $C^{1+\alpha}$ 정규성 조건을 이용해 리아풀로프 지수를 제어하고, 엔트로피의 등가성을 확립하는 것.
• 변분 원리와 엔트로피 구조 이론을 적용하여 콤팩트 집합 $K$ 에서의 메트릭 엔트로피의 하한과 $G_K$ 의 위상 엔트로피 사이의 관계를 규명하는 것.
• 특정 예시들에서 $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ 가 $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$ 의 열린 부분집합을 포함함을 이용하여 광범위한 적용 가능성을 확보하는 것.
• 비균일 쌍곡성 설정에서 측도 이론적 및 위상 이론적 도구를 통해 $h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_\mu)$ 와 $\inf_{\mu \in K} h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_K)$ 를 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 쌍곡성 시스템에서 불변 측도 $\mu$ 의 메트릭 엔트로피가 그의 포화집합 $G_\mu$ 의 위상 엔트로피와 정확히 일치할 수 있는가?
• RQ2 불변 측도의 콤팩트하고 연결된 집합 $K$ 의 포화집합 위상 엔트로피는 $K$ 내 측도들의 메트릭 엔트로피의 하한과 같은가?
• RQ3 이 엔트로피 일치는 강건하게 전이 가능한 시스템과 비부분 쌍곡성 시스템으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?
• RQ4 어떤 시스템의 구조적 성질이 $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ 가 에르고딕 측도 공간 $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$ 의 열린 부분집합을 포함하도록 보장하는가?
• RQ5 전체 측도 집합으로서의 $\widetilde{\Lambda}$ 의 선택이 시스템의 엔트로피 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 전체 측도 집합 $\widetilde{\Lambda}$ 위의 모든 불변 측도 $\mu$ 에 대해, 메트릭 엔트로피 $h_\mu(f)$ 는 그의 포화집합 $G_\mu$ 의 위상 엔트로피와 일치한다. 즉, $h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_\mu)$ 이다.
• 균일한 쌍곡성 속도를 가진 비어 있지 않은 콤팩트하고 연결된 부분집합 $K \subset \mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ 에 대해, $G_K$ 의 위상 엔트로피는 $K$ 에서의 메트릭 엔트로피의 하한과 같다. 즉, $\inf_{\mu \in K} h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_K)$ 이다.
• 결과는 카토크의 비균일 쌍곡성 미분형상, 마냐의 강건하게 전이 가능한 부분 쌍곡성 시스템, 보나티-비아나의 강건하게 전이 가능한 비부분 쌍곡성 시스템에 적용 가능하다.
• 모든 세 경우에서 $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ 는 에르고딕 측도 공간 $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$ 의 열린 부분집합을 포함하므로, 결과는 작거나 특수한 집합에 국한되지 않는다.
• $\widetilde{\Lambda}$ 의 구성은 $\omega$-거의 모든 점에서 엔트로피 일치가 유지되며, 동역학 하에서 쌍곡성 구조가 유지됨을 보장한다.
• 엔트로피 일치는 에르고딕 이론, 쌍곡성 동역학, 위상 엔트로피 이론의 조합을 통해 확립되며, 부분 쌍곡성에 대한 가정은 쌍곡성 측도의 존재 이외에는 필요로 하지 않는다.