[논문 리뷰] Scalable Auction Algorithms for Bipartite Maximum Matching Problems

Quanquan C. Liu, Yingyue Ke외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Cryptography and Data Security인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 최대 가중 이분 매칭(MWM)과 최대 카디널리티 b-매칭(MCbM)을 위한 확장 가능한 경매 기반 알고리즘을 제안하며, 블랙보드 모델에서 각각 O(log n / ε⁸) 및 O(log n / ε²) 라운드를 달성한다. 이는 분산형, 상호작용 가능한 환경에서 통신 복잡도가 낮은 (1−ε)-근사값을 제공함으로써 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다. 이전의 연구에 비해 반복 횟수와 메모리 사용 효율성이 반영된 반면, 반복 횟수와 공간 복잡도를 크게 향상시켰다. 이는 반복 스트림, 워크-딥스, 대량 병렬 처리(MPC) 모델에서 특히 두드러진다.

ABSTRACT

Bipartite maximum matching and its variants are well-studied problems under various models of computation with the vast majority of approaches centering around various methods to find and eliminate augmenting paths. Beginning with the seminal papers of Demange, Gale and Sotomayor [DGS86] and Bertsekas [Ber81], bipartite maximum matching problems have also been studied in the context of auction algorithms. These algorithms model the maximum matching problem as an auction where one side of the bipartite graph consists of bidders and the other side consists of items; as such, these algorithms offer a very different approach to solving this problem that do not use classical methods. Dobzinski, Nisan and Oren [DNO14] demonstrated the utility of such algorithms in distributed, interactive settings by providing a simple and elegant O(log n/ε²) round maximum cardinality bipartite matching (MCM) algorithm that has small round and communication complexity and gives a (1-ε)-approximation for any (not necessarily constant) ε > 0. They leave as an open problem whether an auction algorithm, with similar guarantees, can be found for the maximum weighted bipartite matching (MWM) problem. Very recently, Assadi, Liu, and Tarjan [ALT21] extended the utility of auction algorithms for MCM into the semi-streaming and massively parallel computation (MPC) models, by cleverly using maximal matching as a subroutine, to give a new auction algorithm that uses O(1/ε²) rounds and achieves the state-of-the-art bipartite MCM results in the streaming and MPC settings. In this paper, we give new auction algorithms for maximum weighted bipartite matching (MWM) and maximum cardinality bipartite b-matching (MCbM). Our algorithms run in O(log n/ε⁸) and O(log n/ε²) rounds, respectively, in the distributed setting. We show that our MWM algorithm can be implemented in the distributed, interactive setting using O(log² n) and O(log n) bit messages, respectively, directly answering the open question posed by Demange, Gale and Sotomayor [DNO14]. Furthermore, we implement our algorithms in a variety of other models including the the semi-streaming model, the shared-memory work-depth model, and the massively parallel computation model. Our semi-streaming MWM algorithm uses O(1/ε⁸) passes in O(n log n ⋅ log(1/ε)) space and our MCbM algorithm runs in O(1/ε²) passes using O((∑_{i ∈ L} b_i + |R|) log(1/ε)) space (where parameters b_i represent the degree constraints on the b-matching and L and R represent the left and right side of the bipartite graph, respectively). Both of these algorithms improves exponentially the dependence on ε in the space complexity in the semi-streaming model against the best-known algorithms for these problems, in addition to improvements in round complexity for MCbM. Finally, our algorithms eliminate the large polylogarithmic dependence on n in depth and number of rounds in the work-depth and massively parallel computation models, respectively, improving on previous results which have large polylogarithmic dependence on n (and exponential dependence on ε in the MPC model).

연구 동기 및 목표

• 분산형 및 스트리밍 모델에서 최대 가중 이분 매칭(MWM)과 최대 카디널리티 b-매칭(MCbM)을 위한 확장 가능한 경매 알고리즘을 개발한다.
• Dobzinski, Nisan, 및 Oren(2014)이 제기한 문제, 즉 상호작용적이고 통신 복잡도가 낮은 경매 알고리즘이 MWM에 대해 (1−ε)-근사값을 달성할 수 있는지 여부를 해결한다.
• 기존 최고 수준의 방법에 비해 반복 스트림, 워크-딥스, 대량 병렬 처리(MPC) 모델에서 공간 복잡도와 반복 횟수 복잡도에 대한 ε에 대한 의존도를 줄인다.
• 워크-딥스 및 MPC 모델에서 각각 깊이와 반복 횟수 복잡도에 큰 다항로그(polynomial-logarithmic) 의존도가 존재하는 문제를 제거한다.

제안 방법

• Demange, Gale, 및 Sotomayor(1986) 및 Bertsekas(1981)의 경매 프레임워크를 수정된 가격 업데이트 규칙을 사용하여 가중 매칭 설정에 적응시킨다.
• Gupta-Peng 변환을 적용하여 간선을 O(log(1/ε)(W))개의 무게 기반 버킷과 O(1/ε)개의 복제본으로 분할함으로써, 병렬 또는 순차적 처리를 통해 효율적인 근사치를 얻을 수 있도록 한다.
• 분산 계산을 조율하기 위해 블랙보드 모델을 사용하며, 각 노드가 중앙 조정자에게 메시지를 전송함으로써 총 전송 비트 수를 최소화한다.
• 다양한 모델에 알고리즘을 구현한다: 반복 스트림 모델(최대 O(1/ε⁸)번의 반복과 MWM에 대해 O(n log n · log(1/ε))의 공간), 공유 메모리 워크-딥스 모델, MPC 모델.
• 경매 알고리즘의 구조를 활용하여 통신 복잡도와 반복 횟수 복잡도를 제한하며, MWM와 MCbM에 대해 각각 O(log n / ε⁸) 및 O(log n / ε²)의 반복 횟수를 달성한다.
• 모든 (1+ε)-근사 MWM 프rotocol을 (1+16ε)-근사로 확장할 수 있는 변환 프레임워크를 도입하며, 모델에 따라 통신, 작업, 또는 공간 복잡도의 증가를 통제할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분산형, 상호작용 가능한 환경에서 통신 복잡도가 낮은 경매 알고리즘이 최대 가중 이분 매칭(MWM)에 대해 (1−ε)-근사값을 달성할 수 있는가? 이는 최대 카디널리티 매칭(MCM)에 대해 성립하는 바와 동일한가?
• RQ2 반복 스트림 모델에서 MWM에 대해 반복 횟수 복잡도, 통신 비용, 공간 사용량 간 최적의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ3 도우측 정점에 차수 제약 조건이 있는 이분 그래프에서 경매 기반 방법은 b-매칭 문제에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 워크-딥스 및 MPC 모델에서 깊이 및 반복 횟수 복잡도에 대해 n에 대한 큰 다항로그 의존도를 제거할 수 있는가?
• RQ5 다양한 모델에서 (1+ε)-근사 MWM 프로토콜을 (1+16ε)-근사로 확장하기 위해 필요한 최소한의 통신, 작업, 또는 공간 오버헤드는 얼마인가?

주요 결과

• 제안된 MWM 알고리즘은 블랙보드 모델에서 O(log n / ε⁸)라운드 내에 실행되며, 이는 이전 연구에 비해 ε에 대한 지수적 의존도를 지닌 결과보다 크게 향상된 것이다.
• 알고리즘은 O(log² n) 및 O(log n) 비트 메시지를 사용하여 분산형, 상호작용 가능한 환경에서 MWM에 대해 (1−ε)-근사값을 달성하며, 이는 Dobzinski, Nisan, 및 Oren(2014)이 제기한 열린 문제에 직접적인 답변을 제공한다.
• 반복 스트림 모델에서 MWM 알고리즘은 O(1/ε⁸)번의 반복과 O(n log n · log(1/ε))의 공간을 사용하며, ε에 대한 공간 의존도에서 이전 최고 성능에 비해 지수적으로 향상되었다.
• MCbM의 경우 알고리즘은 O(log n / ε²)라운드를 소비하며, O((∑ᵢ∈L bᵢ + |R|) log(1/ε))의 공간을 사용하여, 이전 방법에 비해 반복 횟수 복잡도를 향상시키고 ε에 대한 의존도를 감소시켰다.
• 워크-딥스 모델에서 알고리즘은 깊이에 대해 n에 대한 큰 다항로그 의존도를 제거하였으며, O(D(n, m, f(ε), ε) · log(1/ε)(W))의 깊이를 달성하였고, 작업 복잡도의 증가를 통제하였다.
• MPC 모델에서 알고리즘은 반복 횟수 복잡도에 대한 ε에 대한 지수적 의존도를 줄였으며, 각 머신당 O(S(n, m, f(ε), ε) + n · log(1/ε)(W))의 공간과 총 공간 O(T(n,m,f(ε),ε)·log(1/ε)(W)/ε)를 달성하여 이전 결과를 초월하였다.