[논문 리뷰] Scalable Computation of Energy Functions for Nonlinear Balanced Truncation

Boris Kramer, Serkan Gugercin외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 15.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 균형 축소에서 에너지 함수를 계산하기 위해 스케일러블하고 타일러 급수 기반의 방법을 제안한다. 이는 구조화된 선형 텐서 시스템을 통해 매개변수화된 해밀턴-자비-벨리만(HJB) 방정식을 해결함으로써 이루어지며, 대규모 비선형 시스템에 대해 고정밀 다항식 근사값을 제공한다. 이 방법은 최대 1,024개 상태와 6차 근사로, 버거스 및 키라모토-시바시크시 PDE에 대해 적용되었으며, 수십억 개의 미지수에서 수렴성과 효율적인 계산을 달성하였다.

ABSTRACT

Nonlinear balanced truncation is a model order reduction technique that reduces the dimension of nonlinear systems in a manner that accounts for either open- or closed-loop observability and controllability aspects of the system. A computational challenges that has so far prevented its deployment on large-scale systems is that the energy functions required for characterization of controllability and observability are solutions of various high-dimensional Hamilton-Jacobi-(Bellman) equations, which are computationally intractable in high dimensions. This work proposes a unifying and scalable approach to this challenge by considering a Taylor-series-based approximation to solve a class of parametrized Hamilton-Jacobi-Bellman equations that are at the core of nonlinear balancing. The value of a formulation parameter provides either open-loop balancing or a variety of closed-loop balancing options. To solve for the coefficients of Taylor-series approximations to the energy functions, the presented method derives a linear tensor system and heavily utilizes it to numerically solve structured linear systems with billions of unknowns. The strength and scalability of the algorithm is demonstrated on two semi-discretized partial differential equations, namely the Burgers and the Kuramoto-Sivashinsky equations.

연구 동기 및 목표

• 비선형 균형 축소에서 고차원 해밀턴-자비-벨리만(HJB) 방정식을 푸는 데 있어 계산상의 비현실성 문제를 해결한다.
• 대규모 비선형 시스템의 에너지 함수 계산에서 발생하는 병목 현상을 해결하기 위해 매개변수화된 HJB 방정식의 스케일러블한 해법을 제공한다.
• 단일 매개변수화된 공식화를 통해 개방 루프 및 다양한 폐루프 균형 옵션을 통합하는 프레임워크를 개발한다.
• 모델 차원 축소를 위한 진정한 에너지 함수—이차 근사나 대수적 그라미안 없이—를 비선형 시스템에 적용할 수 있도록 한다.
• 제2부에서 다룰 비선형 균형 축소의 악조건 문제와 다양체 근사에 대한 계산적 기반을 마련한다.

제안 방법

• 비선형 균형 축소의 핵심이 되는 일련의 매개변수화된 HJB 방정식의 해로 에너지 함수를 공식화한다.
• 해당 매개변수에 대한 타일러 급수 전개를 사용하여 에너지 함수를 근사하고, 문제를 다항식 계수를 구하는 것으로 변환한다.
• 타일러 전개의 계수를 위한 선형 텐서 시스템을 유도하며, 저랭크 구조를 활용하여 수십억 개의 미지수를 가진 시스템을 다룰 수 있도록 한다.
• 텐서 구조를 활용하여 반복 해법과 행렬을 직접 사용하지 않는 연산을 통해 대규모 구조 선형 시스템을 효율적으로 해결한다.
• 유한요소 방법을 사용하고 표준 형식으로 변환함으로써, 반산분산 PDE(Burgers 및 Kuramoto-Sivashinsky)에 적용한다.
• 상태 차원(n)과 다항식 차수(d)를 증가시키는 수치 실험을 통해 확장성을 입증하며, 에너지 함수 근사의 수렴성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 비선형 시스템에 대해 H∞ 에너지 함수의 고정밀 다항식 근사치를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 정확도를 유지하면서 매개변수화된 HJB 방정식을 풀이하는 계산 복잡도를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 최대 10억 개의 미지수를 가진 시스템에 대해 제안된 텐서 기반 선형 시스템 해법의 확장성은 어떠한가?
• RQ4 PDE 이산화 시스템에서 다항식 차수와 상태 차원이 증가함에 따라 에너지 함수 근사치는 어떻게 수렴하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 단일 통합 공식화를 통해 개방 루프 및 폐루프 균형 모두를 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 버거스 방정식에 대해 최대 8차 및 1,024개 상태까지 H∞ 에너지 함수의 다항식 근사치를 성공적으로 계산하였으며, 과거 및 미래 에너지 함수 모두에서 수렴이 관찰되었다.
• 키라모토-시바시크시 방정식의 경우, n=16 및 d=6에서 에너지 함수 근사치가 수렴하였고, n=1024 및 d=6일 때 ${\cal E}_{d}^{+}(\mathbf{z}_{0})$는 약 4.83 근처에서 안정화되었다.
• CPU 시간은 문제 크기에 대해 비선형적으로 증가하며, 예측된 연산 횟수를 초월하여 효율성이 뛰어나 알고리즘적 효율성이 높음을 시사한다.
• 두 테스트 문제에 대해 다항식 차수와 차원이 증가함에 따라 에너지 함수 근사치가 안정된 값으로 수렴함을 확인하였으며, 이는 강건성과 정확성을 보여준다.
• 텐서 구조 선형 시스템을 통해 최대 1.07×10^9개의 미지수를 가진 문제를 해결할 수 있었으며, 이는 대규모 시스템에 대한 확장성을 입증한다.
• 프레임워크는 향후 비선형 균형 축소에서 진정한 에너지 함수를 사용할 수 있는 기반을 제공하며, 이차 근사나 대수적 그라미안을 회피할 수 있다.