[논문 리뷰] Scalable Incremental Nonconvex Optimization Approach for Phase Retrieval from Minimal Measurements

Ji Li, Jian‐Feng Cai외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 15.

Advanced X-ray Imaging Techniques인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 최소 측정값에서 위상 복원을 위한 확장 가능한 점진적 비볼록 최적화 방법인 IncrePR를 제안한다. 순차적인 비볼록 갱신을 통해 간접적으로 볼록 목표 함수를 최소화함으로써, IncrePR는 전역 수렴성을 달성하고, $ m = 2n-1 $개의 가우시안 측정값에서 완벽한 복원을 이룩하며, 특히 푸리에 및 구조화된 측정 설정에서 최신 기법들보다 뛰어난 재구성 품질을 보인다.

ABSTRACT

We aim to find a solution $\bm{x}\in\mathbb{R}^n/\mathbb{C}^n$ to a system of quadratic equations of the form $b_i=\lvert\langle\bm{a}_i,\bm{x} angle vert^2$, $i=1,2,\ldots,m$, e.g., the well-known phase retrieval problem, which is generally NP-hard. It has been proved that the number $m = 2n-1$ of generic random measurement vectors $\bm{a}_i\in\mathbb{R}^n$ is sufficient and necessary for uniquely determining the $n$-length real vector $\bm{x}$ up to a global sign. The uniqueness theory, however, does not provide a construction or characterization of this unique solution. As opposed to the recent nonconvex state-of-the-art solvers, we revert to the convex relaxation semidefinite programming (SDP) approach and propose to indirectly minimize the convex objective by successive and incremental nonconvex optimization, termed as exttt{IncrePR}, to overcome the excessive computation cost of typical SDP solvers. exttt{IncrePR} avoids sensitive dependence of initialization of nonconvex approaches and achieves global convergence, which makes it also promising for more general models and measurements. For real Gaussian model, exttt{IncrePR} achieves perfect recovery from $m=2n-1$ noiseless measurement and the recovery is stable from noisy measurement. When applying exttt{IncrePR} for structured (non-Gaussian) measurements, such as transmission matrix and oversampling Fourier measurement, it can also locate a reconstruction close to true reconstruction with few measurements. Extensive numerical tests show that exttt{IncrePR} outperforms other state-of-the-art methods in the sharpest phase transition of perfect recovery for Gaussian model and the best reconstruction quality for other non-Gaussian models, in particular Fourier phase retrieval.

연구 동기 및 목표

• 최소 측정값, 특히 $ m = 2n-1 $일 때, 전역 부호를 제외한 유일한 복원이 이론적으로 가능할 정도로 유일한 복원이 보장되는 조건에서 NP-난이도 위상 복원 문제를 해결하는 데 도전한다.
• 기본적인 정수형 프로그래밍(SDP) 해법기의 높은 계산 비용을 완화하면서도 볼록 이완 접근법의 전역 수렴성과 강건성을 유지한다.
• 기존 비볼록 해법기의 민감한 초기화 의존성을 피하는 방법을 개발하여 다양한 측정 모델에서 신뢰할 수 있는 성능을 달성한다.
• 가우시안 및 비가우시안 측정 설정, 특히 전송 행렬과 과표본화된 푸리에 측정치와 같은 구조화된 모델에서 고품질 재구성을 달성한다.
• 특히 푸리에 위상 복원에서, 단계 전이의 날카움과 재구성 정확도 면에서 최신 기법들보다 뛰어난 성능을 입증한다.

제안 방법

• 전체 SDP 해법의 계산 부담을 피하기 위해 순차적인 비볼록 갱신을 통해 간접적으로 볼록 목표 함수를 최소화하는 새로운 점진적 비볼록 최적화 전략인 IncrePR를 제안한다.
• 일반적인 실수 측정 벡터 $ m{a}_i o m{x} $에 의해 보장되는 유일성 조건을 활용하면서도, 직접적인 SDP 해법을 피하기 위해 반복적인 비볼록 보완을 사용한다.
• 비볼록 부분문제를 거쳐도 목적 함수가 단조 감소하도록 보장함으로써 전역 수렴성을 유지한다.
• 노이즈가 없는 경우와 노이즈가 있는 경우 모두에 적용하여 측정 노이즈 존재하에서도 안정성과 강건성을 입증한다.
• 측정 구조의 특수한 성질을 최적화 과정에서 활용함으로써 전송 행렬 및 과표본화된 푸리에 변환과 같은 구조화된 측정 모델에 알고리즘을 적응시킨다.
• 점진적으로 해의 추정치를 향상시키는 순차적 정밀화 메커니즘을 적용하여 초기화에 대한 의존도를 감소시키고 수렴 신뢰도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 정수형 프로그래밍의 계산 비용을 피하면서도 이론적 보장을 유지하는 확장 가능하고 전역 수렴성을 갖춘 위상 복원 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 점진적 비볼록 최적화가 노이즈가 없는 가우시안 케이스에서 $ m = 2n-1 $ 측정값으로 안정적이고 정확한 복원을 가능하게 하는가?
• RQ3 푸리에 및 전송 행렬 설정과 같은 비가우시안 구조화된 측정 모델에서 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 기존 최신 기법 대비 제안된 방법이 완벽한 복원에서 더 날카로운 단계 전이를 달성할 수 있는가?
• RQ5 실제 응용 상황에서 노이즈에 강건하고 초기화에 민감하지 않게 유지되는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• IncrePR는 노이즈가 없는 가우시안 측정값 $ m = 2n-1 $에서 완벽한 복원을 달성하여 이론적 유일성 한계가 실질적으로도 성립함을 확인한다.
• 노이즈가 있는 설정에서도 안정적인 복원을 보이며, 제한된 측정값 조건에서도 높은 재구성 정확도를 유지한다.
• 과표본화된 푸리에 및 전송 행렬 설정을 포함한 구조화된 측정 모델에서는 최소한의 측정 수로 진짜 신호에 가까운 재구성을 생성한다.
• 광범위한 수치 실험을 통해 IncrePR가 가우시안 위상 복원에서 가장 날카로운 단계 전이를 보이며 다른 최신 기법들을 능가함을 입증한다.
• 비가우시안 모델, 특히 푸리에 위상 복원에서는 경쟁 기법들 대비 가장 뛰어난 재구성 품질을 달성한다.
• 알고리즘이 전역 수렴성을 보이며 초기화에 대한 민감도가 감소하여, 위상 복원을 넘어서 보다 넓은 응용 분야에 적합한 강건성을 확보한다.