[논문 리뷰] Scalable randomized benchmarking of non-Clifford gates

Andrew W. Cross, Easwar Magesan외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 CNOT-다이헤드럴 군 $ G_{2^k} $를 정의하여 비클리포드 양자 게이트에 대한 확장 가능한 랜덤라이즈드 래퍼런싱 절차를 제안한다. 이는 $ n $- 큐비트 유니터리에서 효율적인 샘플링, 회로 합성 및 트윌링을 가능하게 하며, 평균 시퀀스 허용도에서의 지수 감쇠를 통해 두 개의 독립된 노이즈 매개변수에 대한 실험적 접근을 제공한다. 이는 고장내성 양자 계산 프로토콜에서 논리적 비클리포드 게이트의 강건한 특성화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Randomized benchmarking is a widely used experimental technique to characterize the average error of quantum operations. Benchmarking procedures that scale to enable characterization of $n$-qubit circuits rely on efficient procedures for manipulating those circuits and, as such, have been limited to subgroups of the Clifford group. However, universal quantum computers require additional, non-Clifford gates to approximate arbitrary unitary transformations. We define a scalable randomized benchmarking procedure over $n$-qubit unitary matrices that correspond to protected non-Clifford gates for a class of stabilizer codes. We present efficient methods for representing and composing group elements, sampling them uniformly, and synthesizing corresponding $\mathrm{poly}(n)$-sized circuits. The procedure provides experimental access to two independent parameters that together characterize the average gate fidelity of a group element.

연구 동기 및 목표

• 클리포드 군을 초월하여 다중 큐비트 시스템에서 비클리포드 게이트의 확장 가능한 특성화를 가능하게 하기 위해 랜덤라이즈드 래퍼런싱을 확장하는 것.
• 마법 상태 정제 및 고장내성 프로토콜에 관련된 중요한 비클리포드 연산인 $ T $, 제어-$ S $, 제어-제어-$ Z $ 등을 포함하는 $ n $-큐비트 유니터리 군의 가족을 정의하는 것.
• 균일하게 군 원소를 샘플링하고, 그들을 조합하며, 실험적 구현을 위해 $ \mathrm{poly}(n) $ 크기의 회로를 합성하는 데 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 평균 시퀀스 허용도에서의 지수 감쇠를 통해 두 개의 독립된 노이즈 매개변수를 실험적으로 추정함으로써, 상태 준비 및 측정 오차에 대한 강건성을 향상시키는 것.
• 기존 클리포드 랜덤라이즈드 래퍼런싱을 보완하는 확장 가능한 프레임워크를 제공하여, 주요 고장내성 양자 계산 아키텍처에서 게이트의 완전한 특성화를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 논문은 CNOT, 비트-플립 게이트, 및 $ 2^k $-페지 게이트로 생성되는 CNOT-다이헤드럴 군 $ G_{2^k} = \langle \Lambda_{ij}(X), X(j), Z_{2^k}(j) \rangle / \langle \omega_{2^k} \rangle $를 정의한다. 이 군은 핵심 비클리포드 연산을 포함한다.
• 균일하게 군 원소를 샘플링하고 그들의 역원을 계산하는 데 효율적인 알고리즘을 확립하여, 래퍼런싱을 위한 랜덤 게이트 시퀀스의 구축을 가능하게 한다.
• 래퍼런싱 프로토콜은 $ \ell $개의 랜덤 군 원소로 이루어진 시퀀스와 그들의 역순 시퀀스를 사용하며, 평균 시퀀스 허용도는 최종 측정 연산자와의 상태 겹침을 통해 측정된다.
• 평균 시퀀스 허용도는 $ F_{\mathrm{seq}}(\ell) = A_Z \alpha_Z^\ell + A_R \alpha_R^\ell + e_I $ 형태로 지수 감쇠하며, 여기서 $ \alpha_Z $와 $ \alpha_R $는 서로 다른 오차 채널을 특성화하는 독립된 노이즈 매개변수이다.
• 군은 하위군들에 대한 연속적인 트윌을 통해 분해된다: $ \mathcal{P} $, $ \mathcal{X} $, $ \mathcal{Z} $, $ \bar{W}_{2^k}/\mathcal{Z} $, 및 $ \tilde{W}_{2^k}/\mathcal{Z} $로, 채널을 파울리 기저에서 세 개의 대각 블록을 가진 형태로 줄인다.
• 최종 트윌된 채널은 $ \mathcal{E}(\rho) = \beta_I \rho + \beta_Z \sum_{P \in \mathcal{Z} \setminus \{I\}} P\rho P + \beta_R \sum_{P \in \mathcal{P} \setminus \mathcal{Z}} P\rho P $ 로 표현되며, $ \alpha_Z = 1 - 4^n \beta_R $, $ \alpha_R = 1 - 2^n \beta_Z - (4^n - 2^n) \beta_R $ 이다. 이를 통해 두 개의 독립된 허용도를 추출할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤라이즈드 래퍼런싱이 큐비트 수에 따라 효율적으로 확장될 수 있도록 비클리포드 게이트로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비클리포드 게이트인 $ T $, 제어-$ S $, 제어-제어-$ Z $ 등의 게이트를 래퍼런싱 프레임워크 내에서 효율적으로 샘플링하고 합성할 수 있는가?
• RQ3 비클리포드 군에 대해 트윌링을 수행했을 때 발생하는 노이즈 채널의 구조는 무엇이며, 이를 독립된 매개변수로 분해할 수 있는가?
• RQ4 래퍼런싱 절차를 개별 게이트 허용도를 추정하기 위해 상호 연결된 프로토콜에 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 $ G_{2^k} $ 군 내의 시퀀스에 대해 $ \mathrm{poly}(n) $ 크기의 회로를 구성할 수 있는가? 이를 통해 실험적 실현 가능성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 랜덤라이즈드 래퍼런싱 절차는 $ n $에 대해 효율적으로 스케일링되며, 회로 크기와 알고리즘 실행 시간 모두 $ O(n^k) $ 이내로 제한된다.
• 평균 시퀀스 허용도는 두 매개변수 지수 감쇠를 보이며, $ F_{\mathrm{seq}}(\ell) = A_Z \alpha_Z^\ell + A_R \alpha_R^\ell + e_I $ 로 표현되며, $ \alpha_Z $와 $ \alpha_R $는 독립된 노이즈 매개변수이다.
• 군 $ G_{2^k} $에 대해 트윌링된 채널은 파울리 기저에서 세 개의 대각 블록으로 줄어들며, 이는 항등원, 페지플립(제로형), 일반 파울리(에르타입) 오차에 해당한다.
• 이 방법은 두 개의 독립된 평균 게이트 허용도를 실험적으로 추정할 수 있게 하여, 상태 준비 및 측정 오차에 대한 강건성을 향상시킨다.
• 이 프레임워크는 상호 연결된 래퍼런싱을 지원하며, 오류 수정 시스템 내의 물리적 및 논리적 비클리포드 게이트에 모두 적용 가능하다.
• 이 절차는 실험적으로 실현 가능하며, 기존의 랜덤라이즈드 래퍼런싱 워크플로우와 호환되어, 고장내성 양자 계산에서 게이트의 완전한 특성화를 가능하게 한다.