[논문 리뷰] Scalably learning quantum many-body Hamiltonians from dynamical data

Frederik Wilde, Augustine Kshetrimayum외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 28.

Quantum many-body systems인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 텐서 네트워크와 미분 가능 양자 시뮬레이션을 사용하여 동적 측정 데이터에서 상호작용하는 양자 다체 해밀토니안을 스케일러블하고 데이터 기반으로 학습하는 방법을 제시한다. 확률적 경사 하강법과 자동 미분를 조합함으로써, 제한된 데이터 조건에서도 정확한 해밀토니안 파라미터 복원을 달성하며, 데이터셋 크기에 대해 역제곱근 스케일링을 보이고, 시스템 크기에 대해 일정한 오차를 유지한다. 1D 헤이젠베르크 모델에서 이를 입증하였다.

ABSTRACT

The physics of a closed quantum mechanical system is governed by its Hamiltonian. However, in most practical situations, this Hamiltonian is not precisely known, and ultimately all there is are data obtained from measurements on the system. In this work, we introduce a highly scalable, data-driven approach to learning families of interacting many-body Hamiltonians from dynamical data, by bringing together techniques from gradient-based optimization from machine learning with efficient quantum state representations in terms of tensor networks. Our approach is highly practical, experimentally friendly, and intrinsically scalable to allow for system sizes of above 100 spins. In particular, we demonstrate on synthetic data that the algorithm works even if one is restricted to one simple initial state, a small number of single-qubit observables, and time evolution up to relatively short times. For the concrete example of the one-dimensional Heisenberg model our algorithm exhibits an error constant in the system size and scaling as the inverse square root of the size of the data set.

연구 동기 및 목표

• 진정한 해밀토니안이 알려져 있거나 근사적으로만 알려져 있을 때 실험적 동적 데이터로부터 알려지지 않은 양자 다체 해밀토니안을 추론하는 문제에 대응한다.
• 고유 상태, 열적 상태, 또는 장시간 진동 데이터가 필요한 전통적 해밀토니안 학습 방법의 한계를 극복한다.
• 최소 자원으로도 작동하는 실용적이고 실험에 친화적인 방법을 개발한다: 단일 초기 상태, 소수의 단일 큐비트 관측량, 짧은 시간 진동 데이터만으로도 가능하다.
• 효율적인 양자 상태 표현 및 최적화 기법을 활용해 대규모 시스템(100개 이상의 스핀)에서 해밀토니안 파라미터를 스케일러블하게 학습할 수 있도록 한다.
• 정확한 기저 해밀토니안 식별을 통해 아날로그 양자 시뮬레이터와 근접한 양자 프로세서의 검증 및 校정을 위한 견고한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 단일 초기 상태에서 시간에 따라 진동하는 측정 데이터를 사용하여 해밀토니안 학습 문제를 최대우도추정(MLE) 문제로 공식화한다.
• 시간에 따라 진동하는 양자 상태를 행렬 곱 상태(MPS)와 시간에 따라 블록을 줄이는 알고리즘(TEBD)을 사용해 효율적인 시뮬레이션을 수행한다. 이는 중간 크기의 시간 범위까지 가능하다.
• 관측된 측정 결과의 음의 로그우도를 최소화함으로써 해밀토니안 파라미터를 최적화하기 위해 확률적 경사 하강법(SGD)과 자동 미분를 활용한다.
• 다양한 시간 단계에서 파울리 기저 측정을 입력 데이터로 사용하며, 각 데이터 포인트는 측정 기저와 이진 결과 문자열로 구성된다.
• 미분 가능 양자 시뮬레이션을 적용하여 시간 진동을 거쳐서의 우도 함수에 대한 해밀토니안 파라미터의 기울기를 계산하고, 시간 진동 전 과정에 걸쳐 엔드 투 엔드 백프로파게이션을 가능하게 한다.
• 특히 SVD에서 비정방형 행렬 분해를 다룰 때 스티펠 다양체 제약 조건을 적용하고, 비정규 행렬의 기울기 복원을 위해 직교 보완 및 사영 기법을 확장하여 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 초기 상태와 짧은 시간 동적 측정 데이터만으로도 다체 해밀토니안의 파라미터를 학습할 수 있는가?
• RQ2 최소한의 실험 데이터를 사용할 경우, 시스템 크기와 데이터셋 크기에 따라 학습 성능은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 텐서 네트워크 기반 시뮬레이션과 미분 가능 양자 역학을 융합하여 스케일러블하고 미분 가능한 해밀토니안 학습을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 SVD 분해에서 발생하는 게이지 자유도가 기울기 계산과 학습 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 실제 양자 시뮬레이션 환경에서 실험적 노이즈와 제한된 측정 자원에 대해 이 방법은 얼마나 강인한가?

주요 결과

• 합성 데이터를 사용하여 단일 초기 상태, 소수의 단일 큐비트 관측량, 짧은 시간 진동 데이터만으로도 1D 헤이젠베르크 모델의 진짜 파라미터를 성공적으로 복원하였다.
• 시스템 크기가 증가함에 따라 학습 오차가 일정하게 유지되며, 이는 대규모 시스템(예: 100개 이상의 스핀)으로의 내재적 스케일러빌리티를 시사한다.
• 오차가 데이터셋 크기의 역제곱근 비례로 감소함을 확인하여, 효율적인 데이터 활용과 수렴 행동을 입증하였다.
• 기울기 계산의 정밀도가 매우 높으며, SVD에서 단위행렬과 특이값 업데이트가 균등하게 분할될 때 최적의 성능을 보였다.
• 행렬 분해에서 발생하는 게이지 자유도에 대해 프레임워크가 강인하며, 적절한 확장 기법을 통해 비정방형 행렬의 경우에도 기울기 정확도를 유지하였다.
• 실험적으로 실용적이며 실제 양자 시뮬레이터와 근접한 양자 장치에 적용 가능하며, 전체 상태 톰오그라피나 장시간 진동 데이터가 필요 없이도 해밀토니안 캘리브레이션을 가능하게 한다.