[논문 리뷰] Scalar curvature on compact complex manifolds

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 07.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 복소다양체 위의 Gauduchon 메트릭의 총 체르누 스칼라 곡률에 대한 완전한 특성화를 수립하며, 컴팩트 복소다양체가 허미션 메트릭을 가질 수 있음이 그 캐논리컬 번들(또는 반-캐논리컬 번들)이 페시브-효과적이지 않을 때이고, 이는 스칼라 곡률이 양(또는 음)임과 동치임을 증명한다. 핵심 결과는 Gauduchon의 동형 변환 방법과 최근 Gauduchon 추측의 해법에 기반하며, 기존 카플러 결과를 비카플러 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove that, a compact complex manifold $X$ admits a smooth Hermitian metric with positive (resp. negative) scalar curvature if and only if $K_X$ (resp. $K_X^{-1}$) is not pseudo-effective. On the contrary, we also show that on an arbitrary compact complex manifold $X$ with complex dimension $\geq 2$, there exist smooth Hermitian metrics with positive total scalar curvature and one of the key ingredients in the proof relies on a recent solution to the Gauduchon conjecture by G. Székelyhidi, V. Tosatti and B. Weinkove.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 복소다양체 위에 스무스 허미션 메트릭이 양 또는 음의 스칼라 곡률을 가지는지 여부를 결정하는 것.
• 카플러 설정에서 Yau와 Heier-Wong의 총 스칼라 곡률 결과를 일반 컴팩트 복소다양체로 확장하는 것.
• Gauduchon 메트릭 공간에서 총 스칼라 곡률 함수의 이미지를 특성화하는 것.
• 캐논리컬 및 반-캐논리컬 번들의 페시브-효과성과 스칼라 곡률의 부호 사이의 기준을 설정하는 것.

제안 방법

• 희망의 스칼라 곡률 성질을 가진 메트릭을 구성하기 위해 Gauduchon의 동형 변환 방법을 사용한다.
• 최근 Gauduchon 추측의 해법(Székelyhidi-Tosatti-Weinkove)을 적용하여 주어진 체적 형태를 가진 Gauduchon 메트릭의 존재를 보장한다.
• Lamari의 양성 기준의 수정된 형태와 Tosatti의 비카플러 칼라-유다이 다양체의 특성화를 활용한다.
• Gauduchon 메트릭 위에서 부분적 적분과 스토크스 정리를 사용하여 총 스칼라 곡률 함수를 분석한다.
• 특정 점에서 양의 스칼라 곡률를 극대화하고 총 곡률이 양이 되도록 보장하기 위해 동형 등가 메트릭의 가족을 구성한다.
• Bott-Chern 코hom올로지 클래스를 이용하여 스칼라 곡률 함수를 임의의 코hom올로지 클래스로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 컴팩트 복소다양체가 총 스칼라 곡률이 양인 허미션 메트릭을 가질 수 있는가?
• RQ2 캐논리컬 번들의 페시브-효과성과 스칼라 곡률의 부호 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 Gauduchon 메트릭의 총 스칼라 곡률가 모든 실수 값을 취할 수 있는가? 그 이미지는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 언제 컴팩트 복소다양체가 총 스칼라 곡률가 0인 Gauduchon 메트릭을 가질 수 있는가?
• RQ5 코다이라 차원은 양 또는 음의 스칼라 곡률를 가진 메트릭의 존재와 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• Gauduchon 메트릭 공간에서 총 스칼라 곡률 함수의 이미지는 K_X와 K_X^{-1} 둘 다 페시브-효과적이지 않으면 정확히 R이다.
• K_X^{-1}가 페시브-효과적이지만 단위형 평탄하지 않다면 이미지는 R>0이며, K_X가 페시브-효과적이지만 단위형 평탄하지 않다면 이미지는 R<0이다.
• 이미지가 {0}임은 K_X가 단위형 평탄할 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 컴팩트 복소다양체가 허미션 메트릭을 가질 수 있음은 K_X(또는 K_X^{-1})가 페시브-효과적이지 않을 때이면 충분하고 필요하다.
• 임의의 차원 ≥2인 컴팩트 복소다양체는 총 스칼라 곡률가 양인 스무스 허미션 메트릭을 가진다.
• X가 카플러일 경우, 총 스칼라 곡률가 양인 동형 칼라-유다이 메트릭이 존재한다.