[논문 리뷰] Scalar Field Theory in Curved Momentum Space

Laurent Freidel, Trevor Rempel|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 표준 $φ^3$-이론의 피카르드 규칙을 비틀어 비정상적인 운동량 공간 기하학을 반영하도록 수정함으로써 곡률이 있는 운동량 공간에서 공변 스칼라 장 이론을 개발한다. 그 다음, 새로운 공변 푸리에 변환을 통해 비국소적 작용을 유도한다. 주요 결과는 비국소적 상호작용과, 기저점으로서 원점을 선택함으로써 국소적으로 만들 수 있는 운동량 항을 갖는 이론이다.

ABSTRACT

We derive an action for scalar quantum field theory with cubic interaction in the context of relative locality. Beginning with the generating functional for standard $φ^3$--theory and the corresponding Feynman rules we modify them to account for the non--trivial geometry of momentum space. These modified rules are then used to reconstruct the generating functional and extract the action for the theory. A method for performing a covariant Fourier transform is then developed and applied to the action. We find that the transformed fields depend implicitly on a fixed point in momentum space with fields based at different points being related by a non-local transformation. The interaction term in the action is also non--local, but the kinetic term can be made local by choosing the base point to be the origin of momentum space.

연구 동기 및 목표

• 상대성 국소성 프레임워크를 확장하기 위해 $̂$를 재활용하여 곡률이 있는 운동량 공간에서 양자장이론을 구성한다.
• 이전에 고전적 비중력 물리학만 기술한 상대성 국소성에서의 양자장이론 공식화의 부재를 해결한다.
• 곡률이 있는 운동량 공간의 기하학을 유지하는 공변 푸리에 변환 방법을 개발한다.
• 비틀어진 피카르드 규칙에서 작용을 재구성하여 운동량 공간 미분형식에 대한 공변성을 보장한다.
• 결과로 얻어진 작용의 구조, 특히 운동량 항과 상호작용 항의 국소성 성질을 규명한다.

제안 방법

• 평탄한 운동량 공간에서 표준 $φ^3$-이론의 생성 함수와 피카르드 규칙을 시작한다.
• 운동량 공간의 비선형 덧셈 규칙 $⊕$와 비정상적인 메트릭 및 접속을 반영하도록 피카르드 규칙을 변형한다.
• 비틀어진 규칙으로부터 생성 함수를 재구성하고, 이에 해당하는 운동량 공간 내의 작용을 추출한다.
• 기저점 $p'$를 사용하여 운동량 공간 부피형식과 접속에 의존하는 위상 인자로 정의된 공변 푸리에 변환을 개발한다.
• 이 변환을 작용에 적용하여, 기저점 $p'$에 암묵적으로 의존하는 장을 얻으며, 서로 다른 기저점 간에 비국소적 장 재정의가 발생한다.
• 운동량 공간에서 델타 함수 표현을 사용하여 푸리에 커널의 사영자 성질과 상(image)을 검증함으로써 변환의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대성 국소성 프레임워크에서 요구하는 비정상적인 기하학을 갖는 운동량 공간에서 양자장이론을 일관되게 공식화할 수 있는가?
• RQ2 곡률이 있는 운동량 공간에서 삼차 상호작용을 갖는 스칼라 장 이론의 작용은 어떤 구조를 갖는가?
• RQ3 곡률이 있는 운동량 공간의 미분형식에 대해 공변성이 유지되는 푸리에 변환은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 기저점 $p'$는 장 구성과 그 비국소적 관계를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비정상적인 운동량 공간 기하학이 존재하는 상황에서, 운동량 항이 어떻게 국소적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 곡률이 있는 운동량 공간 기하학으로 인해 시공간 내 재구성된 작용은 비국소적이며, 상호작용 항은 명시적으로 비국소적이다.
• 기저점 $p'$를 운동량 공간의 원점으로 선택함으로써 운동량 항을 국소적으로 만들 수 있다.
• 다른 기저점에서 정의된 장들은 비국소적 변환으로 연결되며, 이는 연속적인 양자장이론의 집합을 의미한다.
• 공변 푸리에 변환은 운동량 공간 부피형식과 접속에 의존하는 위상 인자로 구성되며, 이는 미분형식에 대한 공변성을 보장한다.
• 운동량 공간에서의 델타 함수 표현은 사영자로 확인되었고, 푸리에 변환과 동일한 상(image)을 가지며 일관성을 입증한다.
• 이론의 비국소성은 비틀어진 덧셈 규칙 $⊕$에서 유래하는 비결합성 및 비교환성 $⋆$-곱에 의해 상호작용 항에 암묵적으로 포함되어 있다.