[논문 리뷰] Scalar one-loop Feynman integrals with complex internal masses revisited

Khiem Hong Phan, Thinh Nguyen Hoang Pham|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 31.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 내부 질량을 가진 스칼라 1-루프 파인만 적분—이중, 삼중 및 4중 점 함수—에 대한 체계적인 해석적 계산을 제시한다. 이는 실수 및 복소 질량 모두에 대해 유효하며, Mathematica 패키지와 FORTRAN 프로그램으로 구현되어 있으며, 실수 및 복소 질량 케이스에서 LoopTools와 완벽한 수치적 일치를 보이며, 주요 랑드 상승기인 적분의 평가를 가능하게 하여 역 그램 행렬식 문제에 대한 새로운 접근법을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we study systematically scalar one-loop two-, three-, and four-point Feynman integrals with complex internal masses. Our analytic results presented in this report are valid for both real and complex internal masses. The calculations are then implemented into a { t Mathematica} (version $9$) package and { t FORTRAN} program. Our program is cross-checked numerically with { t LoopTools} (version $2.14$) in real as well as complex internal masses. We find a perfect agreement between our results and { t LoopTools} for all cases. Additionally, this work is applied for evaluating scalar one-loop Feynman integrals developed leading Landau singularities which may appear in real scattering processes at colliders. Last but not least, the method used in this report can also extend to evaluate tensor one-loop integrals. Therefore, this may open a new approach which can solve the inverse Gram determinant problem analytically.

연구 동기 및 목표

• 복소 내부 질량을 가진 스칼라 1-루프 이중, 삼중 및 4중 점 파인만 적분을 체계적으로 계산하기.
• 다중 레그 산란 과정에서 작은 역 그램 행렬식으로 인한 수치적 불안정성을 해결하기.
• 불안정한 입자를 위한 복소 질량 체계에서 1-루프 적분을 평가하기 위한 강력하고 해석적으로 안정된 방법 제공.
• 이를 텐서 1-루프 적분으로 확장하고 역 그램 행렬식 문제를 해석적으로 해결하기.
• 고정밀 콜라이더 물리 응용을 위한 Mathematica 및 FORTRAN에서의 수치적 구현 및 검증 개발

제안 방법

• 계산은 참조 [12, 13, 14]의 방법에 기반하며, 파인만 매개변수 적분과 초함수로의 환원을 사용한다.
• 스칼라 적분은 일반화된 초함수와 Appell F1 함수를 사용하여 닫힌 형태로 표현된다.
• 이 방법은 내부 질량이 실수 또는 복소수일 경우 모두 해석적 연속성을 유지하기 위해 보조기저의 복소 켤레 구조를 유지한다.
• Cayley 및 그램 행렬식 형식을 사용하여 주 적분으로의 환원이 이루어지며, $ S_N $ 및 $ G_N $ 은 운동량 변수를 정의한다.
• 5점 이상의 경우, 다각형 적분은 $ J_N = -\sum_k (\partial_k S_N / S_N) \mathbf{k}^- J_N $ 를 통해 상자 적분으로 표현된다.
• 해석적 결과는 Mathematica (v9) 패키지와 FORTRAN 프로그램으로 구현되어 수치적 평가가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 운동량 구성에서 복소 내부 질량을 가진 스칼라 1-루프 파인만 적분을 해석적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 작은 역 그램 행렬식이 존재하는 경우에도 이 방법은 수치적으로 안정적인가?
• RQ3 이 방법은 텐서 1-루프 적분으로 확장 가능하며, 역 그램 행렬식 문제를 해석적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 실수 및 복소 질량 모두에서 기존 도구인 LoopTools와의 수치적 구현은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 물리적 산란 과정에서 주요 랑드 상승기를 갖는 적분을 이 방법으로 평가할 수 있는가?

주요 결과

• 해석적 결과는 실수 및 복소 내부 질량 모두에 대해 유효하여 1-루프 계산을 위한 통합 프레임워크를 제공한다.
• Mathematica 및 FORTRAN에서의 수치적 구현은 모든 테스트 케이스에서 LoopTools (v2.14)와 완벽한 일치를 보이며, 복소 질량 포함
• 이 방법은 콜라이더에서 물리적 산란 과정에서 주요 랑드 상승기를 갖는 스칼라 1-루프 적분을 성공적으로 평가한다.
• 이 접근법은 텐서 1-루프 적분으로 확장 가능하며, 역 그램 행렬식 문제를 해석적으로 해결하는 데 새로운 길을 제시한다.
• 5점 및 6점 적분은 $ D = 4 $ 에서 상자 적분으로 환원되며, 알려진 환원 항등식과 일致함을 확인한다.
• 작은 그램 행렬식이 존재하는 운동량 영역에서도 수치적 안정성이 유지되어 오랫동안 해결되지 않았던 수치적 과제를 해결한다.