[논문 리뷰] Scale locality and the inertial range in compressible turbulence

Hussein Aluie|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 30.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 압축성 난류에서 운동에너지 전이가 척도 간 국소적 상호작용에 의해 지배됨을 엄밀히 증명하며, 균일성, 등방성, 또는 특정 상태방정식을 요구하지 않고도 척도 국소성(scale locality)를 확립한다. 이는 평균 미소스케일 운동에너지 유량이 일정한 관성 영역(inertial range) 존재함을 보여주며, 운동에너지가 전역 불변량(global invariant)이 아니더라도 보존적이고 척도 국소적인 에너지 전이가 가능함을 입증한다. 이는 고압축성 유동에서 대규모 난류 시뮬레이션(Large-eddy simulation, LES)의 기초 가정을 검증한다.

ABSTRACT

We use a coarse-graining approach to prove that inter-scale transfer of kinetic energy in compressible turbulence is dominated by local interactions. Locality here means that interactions between disparate scales decay at least as fast as a power-law function of the scale-disparity ratio. In particular, our results preclude transfer of kinetic energy from large-scales directly to dissipation scales, such as into shocks, in the limit of high Reynolds number turbulence as is commonly believed. The results hold in broad generality, at any Mach number, for any equation of state, and without the requirement of homogeneity or isotropy. The assumptions we make in our proofs on the scaling of velocity, pressure, and density structure functions are weak and enjoy compelling empirical support. Under a stronger assumption on pressure dilatation co-spectrum, we show that \emph{mean} kinetic and internal energy budgets statistically decouple beyond a transitional "conversion" range. Our analysis demonstrates the existence of an ensuing inertial scale-range over which mean SGS kinetic energy flux becomes constant, independent of scale. Over this inertial range, mean kinetic energy cascades locally and in a conservative fashion, despite not being an invariant.

연구 동기 및 목표

• 운동에너지 전이의 척도 국소성을 증명함으로써 압축성 난류에서 관성 영역의 물리적 기초를 확립한다.
• 운동에너지가 전역 불변량이 아니므로, 압축성 유동에서 에너지 전이가 관성 영역 내에서 국소적으로 보존적임을 입증한다.
• 미소스케일 유량이 국소적 상호작용에 의해 지배됨을 보여줌으로써 대규모 난류 시뮬레이션(Large-eddy simulation, LES) 모델의 가정을 검증한다.
• 이전에 비압축성 유동에서 확립된 척도 국소성 이론 프레임워크를 압축성, 고마하 수, 비등방성 난류로 확장한다.
• 에너지 전이가 직접적으로 큰 스케일에서 소산 스케일(예: 충격파)으로 이루어지는지 여부에 대한 오랫동안 남아있던 의문을 해결하며, 고 레이놀즈 수에서 이러한 비국소적 전이가 불가능함을 보여준다.

제안 방법

• 압축성 나비에-스토크스 방정식에서 미소스케일(SGS) 유량을 분석하기 위해 거친 스케일링(coarse-graining) 접근법을 사용하며, 이를 국소적 및 비국소적 기여로 분해한다.
• 속도 변화량으로 SGS 유량을 표현하고, 그 변화량이 체계적 구조 함수의 경계를 통해 척도 국소성을 보임을 증명한다.
• 비국소적 적외선(infrared) 기여를 기울기와 필드의 모멘트에 대해 경계하는 데 수학적 부등식(Hölder의 부등식 및 Young의 부등식 등)을 적용하여 척도 비율의 거듭제곱 법칙에 따라 감쇠됨을 보여준다.
• 속도 및 밀도 필드의 두 번째 및 세 번째 순서 중심모멘트에 대한 비국소적 기여에 대한 경계를 유도하며, 척도 불일치가 증가할수록 감쇠됨을 증명한다.
• 운동에너지와 내부에너지 예산 간의 통계적 분리가 일어나는 전이적 '변환' 영역을 도입하여 진정한 관성 영역을 가능하게 한다.
• 실험적 자료에 의해 지지되는, 속도, 압력, 밀도 구조 함수의 척도 법칙에 대한 약한 가정을 사용하여, 마하 수 및 상태방정식에 관계없이 광범위한 일반성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 난류에서 스케일 간 에너지 전이는 비압축성 난류와 마찬가지로 국소적 상호작용에 의해 지배되는가?
• RQ2 평균 SGS 운동에너지 유량이 일정하고 척도 국소적인 관성 영역이 압축성 유동에서 명확하게 존재할 수 있는가?
• RQ3 운동에너지가 전역 불변량이 아니므로, 보존적 전이가 불가능한가, 아니면 국소성만으로도 보편적 통계를 유지할 수 있는가?
• RQ4 충격파 또는 간헐성에 의해 압축성 난류에서 척도 국소성 개념이 얼마나 깨지게 되는가?
• RQ5 운동에너지와 내부에너지 예산이 어떤 조건에서 분리되어 통계적으로 독립적인 관성 영역을 형성할 수 있는가?

주요 결과

• 압축성 난류에서 운동에너지의 스케일 간 전이는 비국소적 기여가 척도 불일치 비율의 거듭제곱 법칙에 따라 감쇠됨을 보이며, 국소적 상호작용에 의해 지배된다.
• 관성 영역 내에서 평균 미소스케일 운동에너지 유량은 척도에 독립적으로 일정해지며, 운동에너지가 전역 불변량이 아니더라도 보존적 전이를 나타낸다.
• 속도, 압력, 밀도 구조 함수의 척도 법칙에 대한 약한 가정 하에 관성 영역 존재가 입증되었으며, 이는 실험적 자료에 의해 지지된다.
• 속도 및 밀도 필드의 기울기와 모멘트에 대한 비국소적 적외선 기여는 거듭제곱 법칙에 따라 감쇠되며, 모든 척도에서 척도 국소성이 확인된다.
• 전이적 '변환' 영역을 초과하면 운동에너지와 내부에너지 예산이 통계적으로 분리되어 운동에너지 전이에 대해 별개의 관성 영역이 가능해진다.
• 결과는 모든 마하 수, 모든 상태방정식, 균일성 또는 등방성 조건 없이 일반적으로 성립하며, 이전의 비압축성 난류 이론의 적용 범위를 크게 넓힌다.