[논문 리뷰] Scaling law of the drag force in dense granular media

Sonu Kumar, K. Anki Reddy외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 25.

Granular flow and fluidized beds인용 수 8

한 줄 요약

이 연구는 밀도가 높은 3차원 입자 매체에서 마찰력에 대한 일반화된 척도 법칙을 수립하며, $ F_{\text{drag}} \propto (D+d)^{\phi_\mu} h^{\alpha_\mu} $ 형태로 표현되며 $ \phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3 $임을 보여주며, 프루드 수 범위 내에서 깊이 또는 침입체 크기와 무관하게 적용 가능하다. 마찰력은 세 가지 속도 영역—정적에 가까운($\mathrm{Fr} < 1$), 선형($1 < \mathrm{Fr} < 5$), 이차($\mathrm{Fr} > 5$)—을 보이며, 전환점은 각각 $\mathrm{Fr} \approx 1$과 $5$에서 발생하며, 이는 $h$와 $D$에 영향을 받지 않는다.

ABSTRACT

Making use of the system of pulling a spherical intruder in static three-dimensional granular media, we numerically study the scaling law for the drag force $F_{ m drag}$ acting on the moving intruder under the influence of the gravity. Suppose if the intruder of diameter $D$ immersed in a granular medium consisting of grains of average diameter $d$ is located at a depth $h$ and moves with a speed $V$, we find that $F_{ m drag}$ can be scaled as $(D+d)^{ϕ_μ} h^{α_μ}$ with two exponents $ϕ_μ$ and $α_μ$, which depend on the friction coefficient $μ$ and satisfy an approximate sum rule $ϕ_μ+α_μ\approx 3$. This scaling law is valid for the arbitrary Froude number (defined by $\mathrm{Fr}={2 V}\sqrt{{2D}/{g}}\big/(D+d)$), if $h$ is sufficiently deep. We also identify the existence of three regimes (quasistatic, linear, and quadratic) at least for frictional grains in the velocity dependence of drag force. The crossovers take place at $\mathrm{Fr}\approx 1$ between the quasistatic to the linear regimes and at $\mathrm{Fr}\approx 5$ between the linear to the quadratic regimes. We also observe that Froude numbers at which these crossovers between the regimes happen are independent of the depth $h$ and the diameter of the intruder $D$. We also report the numerical results on the average coordination number of the intruder and average contact angle as functions of intruder velocity.

연구 동기 및 목표

• 점성 유체 흐름 척도 법칙과 유사한 3차원 밀도가 높은 입자 매체에서의 마찰력에 대한 일반화된 척도 법칙 수립.
• 마찰 계수 $\mu$ 가 변화함에 따라 마찰력이 침입체 크기 $D$, 깊이 $h$, 속도 $V$에 어떻게 의존하는지 조사.
• 마찰력의 속도 의존성에서 나타나는 명백한 역학적 영역을 식별하고, 영역 전환을 위한 프루드 수 임계값을 규명.
• 정규 강성 $K_n^*$, 감쇠 $\gamma_n^*$, 복원 계수와 같은 물성치가 척도 지수와 항복력에 미치는 영향 분석.
• 약간의 합 규칙 $\phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3$의 물리적 기원을 탐구하고, 이 규칙이 $\mu$ 에 따라 어떻게 변화하는지 규명.

제안 방법

• 다양한 직경 $d$ 를 가진 다분포 입자로 구성된 정적 3차원 입자 매체를 일정 속도 $V$ 로 끌고 가는 구형 침입체의 수치 시뮬레이션.
• 정규 강성 $K_n^*$, 감쇠 $\gamma_n^*$, 복원 계수를 포함한 마찰성 접촉 법칙을 적용한 부드러운 구체 이산 요소 방법(DEM) 사용.
• 척도 행동을 탐색하기 위해 침입체 직경 $D$, 깊이 $h$, 속도 $V$, 마찰 계수 $\mu$ 를 체계적으로 변화.
• 情경 효과를 특성화하고 역학적 영역을 식별하기 위해 프루드 수 $\mathrm{Fr} = 2V\sqrt{2D/g}/(D+d)$ 정의.
• 전이점에서 연속성을 확보한 세 영역 모델에 데이터를 피팅: 정적(정체), $\mathrm{Fr}-1$ 에 대해 선형, $\mathrm{Fr}$ 에 대해 이차.
• $V$ 와 $\mu$ 에 따른 조밀도 수와 접촉 각도 통계 분석을 통해 미세 구조 변화 탐색.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도가 높은 3차원 입자 매체에서 마찰력은 침입체 크기 $D$, 깊이 $h$, 마찰 계수 $\mu$ 에 어떻게 척도가 되는가?
• RQ2 속도 의존성 마찰력의 기능적 형태는 무엇이며, 정적, 선형, 이차 영역은 어떻게 발생하는가?
• RQ3 역학적 영역 간 전환점은 어느 프루드 수에서 발생하는가? 이 임계값은 $h$ 와 $D$ 에 영향을 받는가?
• RQ4 $\phi_\mu$ 와 $\alpha_\mu$ 의 척도 지수들이 왜 $\phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3$ 를 만족하는가? 이 합 규칙은 $\mu$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 $K_n^*$, $\gamma_n^*$, $\mu$ 와 같은 물성치는 항복력과 마찰력의 역학적 부분에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 마찰력은 $ F_{\text{drag}} \propto (D+d)^{\phi_\mu} h^{\alpha_\mu} $ 로 척도가 되며, $ \phi_\mu + \alpha_\mu \approx 3 $ 이며, 깊이 $h$ 와 침입체 크기 $D$ 에 영향을 받지 않는 일반화된 척도 법칙을 나타낸다.
• $ \mu \geq 0.05 $ 인 경우 저프루드 수($ \mathrm{Fr} < 1 $) 에서 마찰력이 일정하며, 정적 영역임을 나타내지만, $ \mu = 0 $ 일 경우 마찰력이 여전히 $ \mathrm{Fr} $ 에 의존하여 다른 행동을 보인다.
• 마찰력은 $ \mathrm{Fr} \approx 1 $ 에서 정적 영역에서 선형 영역으로, $ \mathrm{Fr} \approx 5 $ 에서 선형 영역에서 이차 영역으로 전이되며, 이 전이 임계값은 $h$ 와 $D$ 에 영향을 받지 않는다.
• 마찰력의 역학적 부분은 세 영역 모델로 잘 기술되며, $ 1 < \mathrm{Fr} < 5 $ 에서는 $ F_{\text{drag}} = \Psi \left[ 1 + \frac{25}{4} \frac{\lambda}{\Psi} (\mathrm{Fr} - 1) \right] $, $ \mathrm{Fr} > 5 $ 에서는 $ F_{\text{drag}} = \Psi (1 + \lambda \mathrm{Fr}^2) $ 로 표현되며, $ \Psi $ 와 $ \lambda $ 는 $ \mu $ 와 $ \gamma_n^*/K_n^{*0.6} $ 에 따라 달라진다.
• 항복력 $ \Psi $ 는 $ \mu $ 에 크게 의존하고, $ K_n^* $ 에는 약하게 의존하며, $ \gamma_n^* $ 와는 무관하여, 속도가 0일 때 힘 체인 형성이 마찰에 민감하지만 감쇠에는 민감하지 않음을 시사한다.
• 정규 강성 $ K_n^* $ 와 감쇠 $ \gamma_n^* $ 가 변하더라도 비율 $ \gamma_n^*/K_n^{*0.6} $ 를 유지하면 관성 영역이 변화하지 않으며, 이는 이 스케일링 조건 하에서 역학이 단일 곡선으로 수렴함을 나타낸다.