[논문 리뷰] Scaling limits for Hawkes processes and application to financial statistics

Emmanuel Bacry, Sylvain Delattre외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 03.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 19인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 관측 기간 $T \to \infty$ 일 때 다변량 하크스 과정에 대해 대수의 법칙과 기능적 중심극한정리가 성립함을 확립하며, 금융 자산 가격에 기반한 미시적 하크스 기반 모델의 매크로스코픽 확산 극한을 도출한다. 이는 이산적으로 샘플링된 증분 간의 점 游적 상관관계를 분석함으로써 Epps 효과와 리드-래그 동역학을 다양한 척도에서 엄밀하게 특성화한다. 수렴 결과로는 확산 과정이 도출되며, 이는 주요 경험적 스타일라이즈드 팩트를 재현한다.

ABSTRACT

We prove a law of large numbers and a functional central limit theorem for multivariate Hawkes processes observed over a time interval $[0,T]$ in the limit $T ightarrow \infty$. We further exhibit the asymptotic behaviour of the covariation of the increments of the components of a multivariate Hawkes process, when the observations are imposed by a discrete scheme with mesh $Δ$ over $[0,T]$ up to some further time shift $τ$. The behaviour of this functional depends on the relative size of $Δ$ and $τ$ with respect to $T$ and enables to give a full account of the second-order structure. As an application, we develop our results in the context of financial statistics. We introduced in a previous work a microscopic stochastic model for the variations of a multivariate financial asset, based on Hawkes processes and that is confined to live on a tick grid. We derive and characterise the exact macroscopic diffusion limit of this model and show in particular its ability to reproduce important empirical stylised fact such as the Epps effect and the lead-lag effect. Moreover, our approach enable to track these effects across scales in rigorous mathematical terms.

연구 동기 및 목표

• 큰 $T$ 영역에서 다변량 하크스 과정의 척도 극한을 확립하여, 미시적 이벤트 동역학과 매크로스코픽 확산 행동을 연결한다.
• 다양한 메쉬와 시간 이동 영역에서 하크스 과정의 이산적 증분 간 상관관계의 점근적 행동을 특성화한다.
• 하크스 과정 기반의 $d=2n$-차원 모델을 사용하여 금융 자산 수익률의 미시적 확률 모델을 적용하고, 확산 극한으로 수렴함을 보인다.
• 유도된 극한 정리들을 활용하여 고주기 금융 데이터에서의 Epps 효과와 리드-래그 효과를 시간 척도에 따라 엄밀하게 추적한다.

제안 방법

• 관측 기간 $[0,T]$ 동안 $T \to \infty$ 일 때 다변량 하크스 과정에 대해 대수의 법칙과 기능적 중심극한정리를 증명한다.
• 메쉬 $\Delta$ 와 시간 이동 $\tau$ 를 고려한 이산 샘플링 체계 하에서 증분의 상관관계를 분석하고, $\Delta$, $\tau$, $T$ 간의 상대적 척도에 따라 점근적 행동을 도출한다.
• 상호 자극을 모델링하기 위해 조건부 강도 표현식 $\lambda_{i,t} = \mu_i + \sum_{j=1}^d \int_{(0,t)} \varphi_{ij}(t-s) dN_{j,s}$ 를 사용한다.
• 한국어로 번역된 논문의 내용에 따라, 자산 수익률 $S_i = N_{2i-1} - N_{2i}$ 는 대칭 강도를 가진 $2n$-차원 하크스 과정을 기반으로 정의된다.
• 과정 $T^{-1/2}(S_{1,Tv}, S_{2,Tv})$ 의 매크로스코픽 확산 극한을 $T \to \infty$ 일 때 도출하며, $\mathbf{Id} - \mathbf{K}$, $\mathbf{\Sigma}$, 및 커널 $\boldsymbol{\psi}$ 에 의해 결정되는 공분산을 가진 가우시안 과정으로 수렴함을 보인다.
• 커널 측도 $\widetilde{F}$, $\widetilde{F} \star h$, $\widetilde{F} \star g$ 의 커플링을 사용하여 점근적 상관관계 함수 $C_{11}(\Delta,\tau)$ 와 $C_{12}(\Delta,\tau)$ 를 계산하고, 커플링 항등식 $\gamma_\Delta \star \nu \star \check{\mu}(\tau)$ 를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 하크스 과정의 이산적 증분 간 상관관계는 $T \to \infty$ 일 때 어떻게 점근적으로 행동하는가? 이는 $\Delta$ 와 $\tau$ 의 상대적 척도에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 $2n$-차원 하크스 과정이 타이밍 격자상에서 금융 자산 가격 동역학을 모델링하는 데 사용될 때 매크로스코픽 확산 극한은 무엇인가?
• RQ3 고주기 금융 데이터에서의 Epps 효과와 리드-래그 효과는 미시적 하크스 기반 모델에서 엄밀하게 도출되고 시간 척도에 따라 추적될 수 있는가?
• RQ4 하크스 과정의 조건부 강도 구조는 금융 수익률의 마이크로스트럭처 노이즈와 다중 자산 간 의존성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 과정 $T^{-1/2}(S_{1,Tv}, S_{2,Tv})$ 는 분포 수렴으로 가우시안 과정 $\bigl( Y_1 - Y_2, Y_3 - Y_4 \bigr)$ 으로 수렴하며, 여기서 $Y_v = (\mathbf{Id} - \mathbf{K})^{-1} \mathbf{\Sigma}^{1/2} W_v$ 이다.
• 수익률 과정 $S_1$ 과 그 이동된 형태 $S_{1,\tau+\cdot}$ 간의 점근적 공분산 $C_{11}(\Delta, \tau)$ 는 $\int_{[0,\infty)^2} \gamma_\Delta(t-s-\tau) \cdot 2a_{11}(ds,dt)$ 로 주어지며, 여기서 $a_{11}(ds,dt) = \nu_1 \widetilde{F}(ds)\widetilde{F}(dt) + \nu_2 (\widetilde{F} \star h)(ds)(\widetilde{F} \star h)(dt)$ 이다.
• S_1 와 S_2 간의 교차공분산 $C_{12}(\Delta, \tau)$ 는 $\int_{[0,\infty)^2} \gamma_\Delta(t-s-\tau) \cdot 2a_{31}(ds,dt)$ 로 주어지며, 여기서 $a_{31}(ds,dt) = \nu_2 \widetilde{F}(ds)(\widetilde{F} \star h)(dt) + \nu_1 (\widetilde{F} \star g)(ds)\widetilde{F}(dt)$ 이다.
• Epps 효과와 리드-래그 효과는 극한에서 자연스럽게 나타나며, 미세 척도($\Delta \to 0$) 에서 수익률 간 상관계수가 사라지지만 거시 척도에서는 안정화되며, 경험적 관찰과 일치한다.
• 극한 과정은 마이크로스트럭처 노이즈를 포착한다. 이는 강도 커널의 자기자극성과 대칭성으로 인해 가격 점프 이후에 반전이 더 일어날 가능성이 높기 때문이다.