[논문 리뷰] Scaling of Lyapunov exponents in chaotic delay systems

Thomas Jüngling, Wolfgang Kinzel|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 12.

Chaos control and synchronization인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 혼돈 시스템에서 최대 리아프노프 지수의 스케일링 행동을 조사하여, 선형화된 방정식의 변동성으로 인해 주기적 시스템과는 다를 바 있는 비정상적 스케일링이 혼돈 시스템에서 나타남을 밝혀낸다. 주요 발견은 이러한 비정상성—특히 강한 혼돈에서 약한 혼돈으로의 전이 시점에서—선형 지연 시스템에 다중성 노이즈를 도입함으로써 재현되며, 지연 시간에 따라 정규화된 지수는 √τ 또는 W(τ)와 같이 스케일링됨을 보여, 결정론적 혼돈과 확률적 역학 간의 연결 고리를 제시한다.

ABSTRACT

The scaling behavior of the maximal Lyapunov exponent in chaotic systems with time-delayed feedback is investigated. For large delay times it has been shown that the delay-dependence of the exponent allows a distinction between strong and weak chaos, which are the analogy to strong and weak instability of periodic orbits in a delay system. We find significant differences between scaling of exponents in periodic or chaotic systems. We show that chaotic scaling is related to fluctuations in the linearized equations of motion. A linear delay system including multiplicative noise shows the same properties as the deterministic chaotic systems.

연구 동기 및 목표

• . 혼돈 시스템에서 시간지연가 있는 리아프노프 지수의 스케일링 행동을 조사한다.
• . 주기적 또는 안정 상태 시스템의 스케일링과 혼돈 시스템의 스케일링을 구별한다.
• . 특히 강한 혼돈과 약한 혼돈 사이의 전이에서 발생하는 비정상적 스케일링의 근본 원인을 규명한다.
• . 선형 지연 시스템에 다중성 노이즈를 도입함으로써 결정론적 혼돈 시스템의 스케일링 행동을 재현할 수 있음을 보여준다.
• . 선형화된 방정식 계수의 변동성이 주기적 시스템의 스케일링 법칙에서의 편차를 일으킴을 밝힌다.

제안 방법

• . 시간지연 피드백을 가진 비선형 동역학 시스템을 사용한다: ẋ = f(x) + K·xτ.
• . 시스템을 선형화하여 ẟx = Df(x)·δx + K·δxτ를 도출한다. 여기서 Df(x)는 궤적 沿해 평가된 자코비안이다.
• . 최대 리아프노프 지수를 λ = lim_{t→∞} (1/(t−t₀)) ln∥δx(t)∥/∥δx(t₀)∥로 정의한다.
• . 강한 혼돈(λ₀ > 0) 또는 약한 혼돈(λ₀ < 0)을 결정하는 부분 선형화 ẟx₀ = Df(x)·δx₀로부터의 보조 지수 λ₀를 도입한다.
• . 주기적 궤도의 스케일링 법칙을 분석하기 위해 플로케트 가정과 라마르트 W 함수를 사용하여 λ(τ)에 대한 해석적 표현을 유도한다.
• . 비대칭 정도를 제어하는 매개변수 r을 가진 기울어진 베르누이 맵 모델을 통해 다중성 노이즈를 도입한다. 이는 선형화된 계수의 변동성 강도를 조절한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 혼돈 지연 시스템에서 최대 리아프노프 지수는 지연 시간 τ에 따라 어떻게 스케일링되며, 주기적 시스템과 어떻게 다를까?
• RQ2 . 특히 강한 혼돈에서 약한 혼돈으로의 전이 시점에서 관찰되는 비정상적 스케일링 행동의 원인은 무엇인가?
• RQ3 . 결정론적 혼돈 시스템에서의 비정상적 스케일링은 다중성 노이즈를 가진 선형 지연 시스템에 의해 재현될 수 있는가?
• RQ4 . 선형화된 방정식 계수의 변동성이 지연 정규화 리아프노프 지수 λτ의 스케일링에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 . λ₀ = 0 인 임계 영역에서 λτ의 기능적 형태는 무엇이며, 노이즈 강도에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• . 혼돈 시스템은 지연 시간 τ에 따라 최대 리아프노프 지수 λ의 비정상적 스케일링을 보이며, 주기적 시스템과 현저히 다름.
• . 강한 혼돈(λ₀ > 0)에서는 λ가 상수 값 λ₀로 수렴하며, λ − λ₀는 지수적으로 e^{-λ₀τ}로 감소함.
• . 약한 혼돈(λ₀ < 0)에서는 지연 정규화 지수 τλ(τ)가 ˆµ = ln(−k/λ₀)로 수렴하며, λ₀ → 0⁻로 갈수록 로그적으로 발산함.
• . 임계점 λ₀ = 0 에서 지연 정규화 지수는 λτ ∝ W(kτ)로 스케일링되며, 여기서 W는 라마르트 W 함수이다.
• . 기울어진 베르누이 맵을 통해 다중성 노이즈를 도입하면, λ₀ = 0 에서의 스케일링이 W(τ)에서 √τ로 변화함을 확인하여 변동성에 의해 유도된 전이임을 시사함.
• . 혼돈 시스템에서의 비정상적 스케일링은 다중성 노이즈를 가진 선형 지연 시스템에 의해 완전히 재현되며, 계수의 변동성이 주기적 시스템 행동에서의 편차의 근본 원인임을 확인함.