[논문 리뷰] Scattering-like phenomena of the periodic defocusing NLS equation

Thomas Kappeler, B. Schaad외 1명|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|2015. 05. 27.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원주 위의 주기적 비선형 슈뢰딩거(NLS) 방정식의 해가 고차원 소볼레프 공간에서 거의 선형 흐름으로 근사 가능하다는 것을 입증한다. 이 근사 오차는 시간에 대해 균일하게 유계이다. 주요 결과는 초기 데이터가 $H^N$에 속해 있고 $N \geq 1$일 때, 진짜 해와 비선형 주파수로 정의된 흐름 사이의 차이가 $H^{N+1}$에서 유계임을 보여주며, 이는 $s \geq 1$인 $H^s$에서 해의 전역 유계성을 의미한다. 주기적 설정에서 진정한 산산이 흩어지는 현상이 없음에도 불구하고, 이는 산산이 흩어지는 것과 유사한 근사가 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we prove approximation properties of the solutions of the defoucsing NLS equation on the circle by nearly linear flows. In addition we show that spatially periodic solutions of the defocusing NLS equation evolving in fractional Sobolev spaces $H^s$ with $s\geq 1$ remain bounded for all times.

연구 동기 및 목표

• 자기 상호작용로 인해 점점 더 산산이 흩어지는 현상이 없는 주기적 비집중 NLS 방정식 해의 장기적 행동을 이해하기 위해.
• 초기 조건이 $H^s$에 속하고 $s \geq 1$일 때, 모든 시간에 걸쳐 해가 유계로 유지됨을 보여주기 위해, 전역 잘 정의된 해 이론을 확장하기 위해.
• 비선형 주파수 $\omega_n^{\rm NLS}$로 정의된 거의 선형 흐름을 통해 해가 근사 가능함을 보여주기 위해, 비선형 역학의 일부를 포착하기 위해.
• Birkhoff 좌표와 주파수 游근 분석을 사용하여 $s \geq 2$인 $H^s_r$에서 흐름 사상 $S^t$의 약한 연속성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 비집중 NLS 방정식을 $\mathfrak{h}^s_r$ 위에서 행동량-각도 변수를 가진 해밀토니안 시스템으로 변환하기 위해 Birkhoff 좌표를 사용한다.
• NLS 해밀토니안을 행동량 $I_n = z_1(n)\bar{z}_1(n)$의 실해석 함수로 표현함으로써, 시간 진동이 비선형 주파수 $\omega_n^{\rm NLS} = \partial_{I_n}\mathcal{H}_{\rm NLS}$에 의해 결정됨을 도출한다.
• 근사 해 $v(x,t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{u}_0(n) e^{-i\omega_n^{\rm NLS} t} e^{2\pi i n x}$를 구성함으로써, 비선형 주파수를 가진 푸리에 기저에서 거의 선형 흐름을 정의한다.
• 주파수 근사 분석과 소볼레프 노름의 추정을 사용하여, 초기 데이터가 $H^N$에 속할 경우 $\|u(t) - v(t)\|_{H^{N+1}}$의 유계성을 입증한다.
• Rellich의 정리와 $\mathfrak{h}^s_r$에서의 약한 수렴을 적용하여, $s \geq 2$인 $H^s_r$에서 흐름 사상 $S^t$의 약한 연속성을 보여준다.
• 비선형 주파수의 점 游근 전개 $\omega_n^{\rm NLS} = 4\pi^2 n^2 + O(1)$을 사용하여, 진짜 흐름과 근사 흐름 사이의 차이를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진정한 산산이 흩어지는 현상이 없는 주기적 비집중 NLS 방정식의 해가 비선형 주파수로 정의된 거의 선형 흐름으로 근사 가능할 수 있는가?
• RQ2 초기 조건이 $H^s$에 속하고 $s \geq 1$일 때, 주기적 설정에서도 모든 시간에 걸쳐 해가 유계로 유지되는가?
• RQ3 비선형 주파수 $\omega_n^{\rm NLS}$는 장기적 역학과 근사 정확도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 흐름 사상 $S^t$는 $s \geq 2$인 $H^s_r$에서 약한 연속성이 되는가? 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 진짜 해 $u(t)$와 비선형 주파수 $\omega_n^{\rm NLS}$로 정의된 근사 흐름 $v(t)$ 사이의 정량적 오차는 고차원 소볼레프 노름에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 초기 데이터 $u_0 \in H^N$에 대해 $N \geq 1$일 때, 시간에 대해 균일하게 유계인 $\|u(t) - v(t)\|_{H^{N+1}}$가 성립하며, 이 bound는 $u_0$의 $H^N$-노름에만 의존한다.
• 주기적 비집중 NLS 방정식의 해는 $s \geq 1$일 때 모든 $t \in \mathbb{R}$에서 $H^s$에서 유계로 유지되며, 이 bound는 $H^s$에서 유계인 집합들에 대해 균일하다.
• 비선형 주파수 조절을 통해 $v(x,t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{u}_0(n) e^{-i\omega_n^{\rm NLS} t} e^{2\pi i n x}$로 정의된 근사 해는 비선형 역학을 포착한다.
• 진짜 해 $u(t)$와 근사 흐름 $v(t)$ 사이의 오차는 $\sup_{t\in\mathbb{R}} \|u(t) - v(t)\|_{H^{N+1}} \leq C$를 만족하며, 이 $C$는 $H^N$에서 유계인 집합들에 대해 균일하다.
• 흐름 사상 $S^t: H^s_r \to H^s_r$는 $s \geq 2$일 때 약한 연속성을 가지며, Birkhoff 좌표 공간에서의 약한 수렴과 주파수 연속성에 의해 확립된다.
• 진짜 흐름과 일정 주파수 $\tilde{\omega}_n = 4\pi^2 n^2 + 4\int |u_0|^2 dx$를 가진 보다 단순한 근사 흐름 $w(x,t)$ 사이의 차이는 시간에 따라 선형적으로 증가하며, $H^{N+1}$에서 $C_2 |t| \|u_0\|_{H^N}$로 유계이다.