[논문 리뷰] Scattering of EM waves by many small perfectly conducting or impedance bodies

А. Г. Рамм|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 09.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 형태를 가진 소형 완전 도체 또는 임피던스 입자에 의한 전자기파 산란에 대한 이론을 수립하며, 소형 임피던스 입자에서의 산란은 완전 도체 입자와 비교해 훨씬 강한 $ a^{2-\kappa} $ (여기서 $ \kappa \in [0,1) $) 의 스케일링을 보임을 보여준다. 주요 기여는 주어진 효과적인 굴절률 또는 투자율을 갖는 재료를 설계하기 위한 방법을 제공하는 것으로, 기초 매질에 경계 임피던스와 공간 분포가 조절된 소형 임피던스 입자를 삽입하는 것이다.

ABSTRACT

A theory of electromagnetic (EM) wave scattering by many small particles of an arbitrary shape is developed. The particles are perfectly conducting or impedance. For a small impedance particle of an arbitrary shape an explicit analytical formula is derived for the scattering amplitude. The formula holds as $a o 0$, where $a$ is a characteristic size of the small particle and the wavelength is arbitrary but fixed. The scattering amplitude for a small impedance particle is shown to be proportional to $a^{2-κ}$, where $κ\in [0,1)$ is a parameter which can be chosen by an experimenter as he/she wants. The boundary impedance of a small particle is assumed to be of the form $ζ=ha^{-κ}$, where $h=$const, Re$h\ge 0$. The scattering amplitude for a small perfectly conducting particle is proportional to $a^3$, it is much smaller than that for the small impedance particle. The many-body scattering problem is solved under the physical assumptions $a\ll d\ll λ$, where $d$ is the minimal distance between neighboring particles and $λ$ is the wavelength. The distribution law for the small impedance particles is $\mathcal{N}(δ)\sim\int_δN(x)dx$ as $a o 0$. Here $N(x)\ge 0$ is an arbitrary continuous function that can be chosen by the experimenter and $\mathcal{N}(δ)$ is the number of particles in an arbitrary sub-domain $Δ$. It is proved that the EM field in the medium where many small particles, impedance or perfectly conducting, are distributed, has a limit, as $a o 0$ and a differential equation is derived for the limiting field. On this basis the recipe is given for creating materials with a desired refraction coefficient by embedding many small impedance particles into a given material.

연구 동기 및 목표

• 임의의 형태를 가진 소형 입자(완전 도체 또는 임피던스 입자 포함)에 의한 전자기파 산란에 대한 엄밀한 수학적 이론을 수립하기.
• 입자 크기 $ a \to 0 $ 의 극한에서 물리적 조건 $ a \ll d \ll \lambda $ 하에 산란 진폭에 대한 명시적 해석 공식 유도하기.
• 다수의 소형 입자를 포함한 매질에서 효과적인 필드에 대한 극한 적분방정식과 미분방정식 수립하기.
• 제어된 매개변수를 가진 소형 임피던스 입자를 삽입하여 원하는 효과적인 굴절률 또는 투자율을 갖는 재료를 설계하기 위한 실용적 방법 제공하기.
• 임피던스 입자에서의 산란 단면적은 $ \kappa \in [0,1) $ 를 조절함으로써 완전 도체 입자보다 크게 향상시킬 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 임의의 형태를 가진 소형 임피던스 입자의 산란 진폭에 대한 명시적 해석 공식 유도하며, $ a^{2-\kappa} $ 의 의존성 보여주기. 여기서 $ \kappa \in [0,1) $ 는 실험자가 조절할 수 있다.
• 경계 임피던스 $ \zeta_m = h(x_m)/a^\kappa $ 를 사용하여 산란 강도 제어하기. 여기서 $ h(x) $ 는 연속적이며 $ \operatorname{Re} h \geq 0 $ 이다.
• 분포 법칙 $ \mathcal{N}(\Delta) \sim \frac{1}{a^{2-\kappa}} \int_\Delta N(x)\,dx $ 를 $ a \to 0 $ 에서 수립하여, $ N(x) \geq 0 $ 을 통해 임의의 공간 제어 가능하게 하기.
• 다수 입자 산란 문제를 $ a \to 0 $ 에서 수렴하는 극한 적분방정식으로 수렴시키는 선형 대수계로 환원하기.
• 다수 입자 산란 문제에서 유도된 극한 필드 방정식으로부터 효과적인 굴절률 및 투자율을 명시적으로 계산하기.
• 극한 필드 방정식을 사용하여 효과적인 굴절률 $ n(x) $ 과 투자율 $ \mu(x) $ 의 닫힌 형태 표현식 유도하기. 이들 모두는 $ h(x) $, $ N(x) $, $ \kappa $ 에 따라 달라진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 형태의 소형 임피던스 입자에 대해 분離 변수법에 의존하지 않는 산란 진폭에 대한 명시적 해석 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 소형 임피던스 입자에서 산란 진폭은 입자 크기 $ a $ 에 따라 어떻게 스케일링되는가? 이 스케일링은 입자 형태와 독립적으로 조절할 수 있는가?
• RQ3 입자 크기 $ a \to 0 $ 이고 물리적 척도 $ a \ll d \ll \lambda $ 를 만족할 때, 다수의 소형 임피던스 입자를 포함한 매질에서 전자기장의 극한 행동은 어떠한가?
• RQ4 지정된 경계 조건과 공간 분포를 가진 소형 임피던스 입자를 삽입하여 원하는 효과적인 굴절률을 갖는 재료를 설계할 수 있는가?
• RQ5 효과 매질에서 다중 산란의 역할은 무엇이며, 소형 입자 크기와 고밀도 조건에서 이에 대한 엄밀한 고려가 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 소형 임피던스 입자에서의 산란 진폭은 $ a^{2-\kappa} $ 의 스케일링을 보이며, 여기서 $ \kappa \in [0,1) $ 는 조절 가능한 매개변수이다. 이는 완전 도체 입자에서의 $ a^3 $ 스케일링보다 훨씬 강하다.
• 효과적인 굴절률 $ n(x) $ 는 적절한 $ h(x) $ 와 $ \kappa $ 를 선택함으로써 임의의 원하는 복소수 함수에 근접시킬 수 있으며, 이는 정리 5.1에 의해 증명되었다.
• 효과적인 자기 투자율 $ \mu(x) $ 는 $ h(x) $ 를 조절함으로써 원하는 값으로 조작할 수 있으며, 공식 $ \mu(x) = \mu / (1 + \frac{2c_0}{3i\omega\mu} h(x)N(x)) $ 으로 주어진다.
• 매질 내 극한 필드는 다수 입자 산란 문제에서 유도된 국소 미분방정식을 만족하며, 이는 원하는 거시적 전자기적 성질을 갖는 재료 설계를 가능하게 한다.
• 입자에서의 굴절률의 실수부 $ \operatorname{Re} n(x) < 0 $ 가 되는 음의 굴절을 달성하기 위해 $ h_1(x) \geq 0 $ 과 $ h_2(x) $ 를 선택함으로써, 굴절률의 인자 값이 $ (-\pi, -\pi/2) $ 에 위치하도록 할 수 있다.
• 이 이론은 특정 경계 임피던스와 공간 분포를 가진 소형 임피던스 입자를 제어적으로 삽입함으로써 맞춤형 전자기 반응을 갖는 메타물질 설계를 위한 엄밀한 기초를 제공한다.