[논문 리뷰] Scattering of solutions to NLW by Inward Energy Decay

Ruipeng Shen|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 에너지-부족한 비선형파 방정식에 대해, 외부 에너지에 대한 가정 없이 특정 비율의 내부 에너지 감쇠 조건만을 요구함으로써, 반경 방향, 에너지-부족한 비집중형 비선형파 방정식의 산란을 확립한다. 새로운 가중 에너지 추정과 1차원 비교 논증을 통해, 양의 시간 방향으로 전역 산란을 증명하고, 초기 자료에 대한 약간의 감쇠 조건 하에서 해가 자유파로 수렴하는 명시적 수렴 속도를 제공한다.

ABSTRACT

The topic of this paper is a semi-linear, energy sub-critical, defocusing wave equation $\partial_t^2 u - Δu = - |u|^{p -1} u$ in the 3-dimensional space ($3\leq p<5$) whose initial data are radial and come with a finite energy. In this work we prove scattering in the positive time direction by only assuming the inward part of the energy decays at a certain rate, as long as the total energy is finite, regardless of the decay rate or size of the outward energy. More precisely, we assume the initial data comes with a finite energy and \[ \int_{{\mathbb R}^3} \max\{1,|x|^κ\}\ (\ | abla u_0(x)\cdot \frac{x}{|x|} + \frac{u_0(x)}{|x|} + u_1(x)\ |^2 + \frac{2}{p+1}|u_0(x)|^{p+1}\ ) dx < \infty. \] Here $κ\geq κ_0(p) = \frac{5-p}{p+1}$ is a constant. If $κ>κ_0(p)$, we can also prove $\|u\|_{L^p L^{2p}}({\mathbb R}^+ imes {\mathbb R}^3)< +\infty$ and give an explicit rate of $u$'s convergence to a free wave.

연구 동기 및 목표

• 유한 에너지를 가진 3차원 비집중형 비선형파 방정식의 반경 방향 해에 대해 산란을 확립하는 것, 에너지 유한성 이외의 최소한의 조건을 요구하는 것.
• 외부 에너지에 대한 강력한 감쇠나 크기 조건이 필요 없도록 하기 위해 내부 에너지 감쇠에 초점을 맞추는 것.
• 오직 가중 내부 에너지 감쇠 조건을 사용하여 양의 시간 방향으로 전역 존재성과 산란을 증명하는 것.
• 초기 자료에 대해 더 강한 감쇠 조건을 가정할 경우, 해가 자유파로 수렴하는 명시적 수렴 속도를 유도하는 것.

제안 방법

• 반경 방향 도함수와 해의 반경 성분을 포함하는 가중 에너지 함수를 도입하며, 가중치 $ |x|^{\kappa} $를 사용하고, $ \kappa > \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1} $를 만족시킴으로써 내부 에너지 감쇠를 제어한다.
• 반경 방향 파동 방정식을 통해 1차원으로 축소시키며, 문제를 비선형 항 $ -\frac{|w|^{p-1}w}{r^{p-1}} $를 가진 1차원 파동 방정식으로 변환한다. 여기서 $ w = ru $이다.
• d'Alembert의 공식을 적용하여 해를 초기 자료와 특성 삼각형 위의 비선형 적분으로 표현한다.
• 초기 자료의 가중 노름에서의 소형 조건을 가진 부트스트랩 논증을 통해 비선형 성장을 제어한다.
• 비선형 적분을 제어하기 위해 영향 영역 내 해의 크기를 사용하는 비교 보조정리(Lemma 5.1)를 적용한다.
• 에너지 보존과 스트리카르츠 유형 추정을 조합하여 $ L^p L^{2p} $ 노름을 제어하고, $ \dot{H}^1 \times L^2 $에서 산란을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 에너지와 내부 에너지 감쇠 조건만을 가정할 경우, 3차원 비집중형 비선형파 방정식에 대해 산란을 증명할 수 있는가? 외부 에너지에 대한 가정은 필요 없는가?
• RQ2 양의 시간 방향으로 산란을 보장하기 위해 필요한 초기 자료의 최소 감쇠 비율은 무엇인가?
• RQ3 초기 자료에 대해 더 강한 감쇠 조건을 가정할 경우, 해가 자유파로 수렴하는 명시적 수렴 속도를 도출할 수 있는가?
• RQ4 내부 에너지 감쇠 조건 하에서, 외부 영역 $ |x| > t + R $ 에서 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 산란 결과를 가능하게 하는 가중치 지수 $ \kappa $ 의 최적 임계값은 무엇인가?

주요 결과

• 반경 방향 해에 대해, $ p \in [3,5) $ 인 3차원 비집중형 비선형파 방정식에서, $ \int_{\mathbb{R}^3} (1 + |x|^\kappa) \left( |\nabla u_0|^2 + |u_1|^2 + |u_0|^{p+1} \right) dx < \infty $ 를 만족하는 조건만을 가정하면, $ \dot{H}^1 \times L^2 $에서 산란이 증명된다. 여기서 $ \kappa > \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1} $이다.
• $ \kappa > \kappa_0(p) $ 일 때, 해는 $ \|u\|_{L^p L^{2p}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^3)} < \infty $ 를 만족하며, 이는 공간-시간에서의 강한 적분 가능성임을 나타낸다.
• 동일한 조건 하에서, 해가 자유파로 수렴하는 명시적 수렴 속도를 확보한다: $ \|u(t) - v(t)\|_{\dot{H}^1 \times L^2} \to 0 $ 이다. $ t \to \infty $ 일 때.
• 해는 $ |w(r,t)| \leq 3c r^\beta $ 를 만족한다. $ r \geq t + R $ 에서, 여기서 $ w = ru $, $ \beta = \frac{2}{p-1} $, $ c $ 는 작다. 이는 외부 영역에서 $ u(r,t) \simeq c r^{-\frac{2}{p-1}} $ 임을 의미한다.
• 초기 자료가 $ |x|^{-\frac{2}{p-1}} $ 와 같이 감쇠하는 예를 구성하였으며, 이는 $ \kappa \in \left(\frac{5-p}{p+1}, \frac{5-p}{p-1}\right) $ 에서 가중 에너지 조건을 만족하지만, $ \|u\|_{L^{2(p-1)} L^{2(p-1)}} = \infty $ 임을 보여, $ L^p L^{2p} $ 노름 조건의 날카로움을 입증한다.
• 외부 에너지의 크기나 감쇠에 대한 제한 없이 결과가 성립함을 보여, 내부 에너지 감쇠만으로도 산란이 성립함을 입증한다.