[논문 리뷰] Scattering Theory for Open Quantum Systems

Jussi Behrndt, M. M. Malamud외 1명|ArXiv.org|2006. 10. 31.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 소산 연산자(가해밀턴ian)로 모델링된 개방 양자 시스템을 위한 산산 이론 프레임워크를 개발하며, 그들의 산산 행렬이 자의적 산산 행렬의 단위행렬로 완전히 복원될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 에너지에 의존하는 소산 시스템에 대해 반한계가 있는 해밀토니안 임bedding을 엄밀하게 구성한 것으로, 특성 함수 이론을 통해 닫힌 시스템의 산산 행렬이 원래의 개방 시스템의 산산 행렬과 정확히 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

Quantum systems which interact with their environment are often modeled by maximal dissipative operators or so-called Pseudo-Hamiltonians. In this paper the scattering theory for such open systems is considered. First it is assumed that a single maximal dissipative operator $A_D$ in a Hilbert space $\sH$ is used to describe an open quantum system. In this case the minimal self-adjoint dilation $\widetilde K$ of $A_D$ can be regarded as the Hamiltonian of a closed system which contains the open system $\{A_D,\sH\}$, but since $\widetilde K$ is necessarily not semibounded from below, this model is difficult to interpret from a physical point of view. In the second part of the paper an open quantum system is modeled with a family $\{A(μ)\}$ of maximal dissipative operators depending on energy $μ$, and it is shown that the open system can be embedded into a closed system where the Hamiltonian is semibounded. Surprisingly it turns out that the corresponding scattering matrix can be completely recovered from scattering matrices of single Pseudo-Hamiltonians as in the first part of the paper. The general results are applied to a class of Sturm-Liouville operators arising in dissipative and quantum transmitting Schrödinger-Poisson systems.

연구 동기 및 목표

• 최대 소산 연산자(가해밀턴ian)로 묘사된 개방 양자 시스템에 대해 엄밀한 산산 이론을 개발하는 것.
• 기본 확장 이론에서 비반한계 자의적 확장의 물리적 비일관성을 다루는 것.
• 에너지에 의존하는 최대 소산 연산자 가족으로 모델링된 개방 시스템에 대해 반한계 닫힌 시스템 임bedding을 구성하는 것.
• 특성 함수를 통해 닫힌 시스템의 산산 행렬과 원래의 개방 시스템의 산산 행렬 간의 완전한 대응 관계를 확립하는 것.
• 산산 이론을 소산성 및 양자 투과 슈뢰딩거-포아송 시스템에서 유도되는 슈뢰딩거-리우빌 연산자에 적용하는 것.

제안 방법

• 대칭 연산자의 확장을 특성화하기 위해 경계 삼중체 이론과 와일 함수를 사용하는 것.
• K₀ = A₀ ⊕ G₀의 특이 유한계수 변형을 통해 최대 소산 연산자 A_D의 자의적 확장 ŴK를 구성하는 것.
• Lax-Phillips 산산 프레임워크를 활용하여 파동 연산자와 산산 연산자 S(ŴK, K₀)를 정의하는 것.
• 스펙트럼 표현에서 산산 행렬 {ŴS(λ)}를 단위행렬 곱셈 연산자로 유도하는 것.
• 산산 행렬과 소산 확장 A_{-τ(λ)}의 특성 함수 W_{A_{-τ(λ)}}(λ - i0)* 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 점 상호작용을 가진 슈뢰딩거-리우빌 연산자에 이론을 적용하며, 부슬라예프-포민 연산자를 모델로 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 최대 소산 연산자로 묘사된 개방 양자 시스템을 물리적으로 일관된 반한계 해밀토니안으로 임bedding할 수 있는가?
• RQ2 자의적 확장에 의해 구성된 닫힌 시스템의 산산 행렬은 원래의 개방 시스템의 산산 행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 에너지에 의존하는 최대 소산 연산자 가족의 산산 행렬은 개별 가해밀턴ian의 산산 행렬로부터 복원될 수 있는가?
• RQ4 최대 소산 연산자의 특성 함수와 그 자의적 확장의 산산 행렬 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 점 상호작용을 가진 소산성 슈뢰딩거-포아송 시스템과 같은 물리적 시스템에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 자의적 확장 ŴK의 산산 행렬 {ŴS(λ)}는 2×2 블록 행렬로 분해되며, 상단-좌측 블록은 소산 시스템 {A_D, A_0}의 산산 행렬 {S_D(λ)}와 같다.
• 산산 행렬 {ŴS(λ)}는 K₀^{ac}의 스펙트럼 표현에서 유도된 {ŴS(λ)}에 의한 곱셈 연산자와 단위행렬로 동치이다.
• 산산 행렬 {ŴS(λ)}는 ŴS(λ) = I - 2iP_{τ(λ)}√{Im(τ(λ))}(M(λ) + τ(λ))^{-1}√{Im(τ(λ))}로 명시적으로 주어지며, 여기서 M(λ)은 와일 함수이고 τ(λ)는 소산 확장의 와일 함수이다.
• 닫힌 시스템 {ŴL, L_0}의 산산 행렬은 ŴS(λ) = W_{A_{-τ(λ)}}(λ - i0)*를 만족하며, 특성 함수와 산산 행렬 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 점 상호작용을 가진 슈뢰딩거-리우빌 시스템의 경우, 자의적 확장 ŴL은 부슬라예프-포민 연산자와 일치하며, 이는 구성의 물리적 관련성을 확인한다.
• 이 프레임워크는 에너지 μ에 따라 변화하는 최대 소산 연산자 가족 {A(μ)}를 사용하여 개방 시스템의 반한계 임bedding을 가능하게 하여, 기존 확장 이론에서의 비반한계성 문제를 해결한다.