[논문 리뷰] Scattering theory in a weighted $L^2$ space for a class of the defocusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 03.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 35인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 $d \geq 1$ 차원에서 $\mu = -1$ 인 비균일 비선형 슈뢰딩거 방정식(INLS)에 대해, $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 조건 하에 가중 $L^2$ 공간 $\Sigma$ 내에서 산산각산(scaterring)을 확립한다. 여기서 $\alpha_{\star} = \frac{4-2b}{d}$ 이고, $d \geq 3$ 일 때 $\alpha^{\star} = \frac{4-2b}{d-2}$ 이다. 분석은 $H^1$ 공간 내에서 향상된 국소적 잘 정의된 이론과 비르발 항등식에서 유도된 감쇠 추정을 조합하여, 초기 자료가 $\Sigma$ 에 속할 경우의 전역 존재성과 산산각산을 증명한다. 주요 기여는 이 클래스의 INLS 방정식에 대해 임계 및 초임계 영역에서 $\Sigma$ 내에서의 첫 번째 산산각산 결과를 도출한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the following inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation (INLS) \[ i\partial_t u + Δu + μ|x|^{-b} |u|^αu = 0, \quad (t,x)\in \mathbb{R} imes \mathbb{R}^d \] with $b, α&gt;0$. First, we revisit the local well-posedness in $H^1(\mathbb{R}^d)$ for (INLS) of Guzmán [Nonlinear Anal. Real World Appl. 37 (2017), 249-286] and give an improvement of this result in the two and three spatial dimensional cases. Second, we study the decay of global solutions for the defocusing (INLS), i.e. $μ=-1$ when $0

연구 동기 및 목표

• 차원 $d=2,3$ 에서 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 공간 내에서 비균일 비선형 슈뢰딩거 방정식(INLS)의 국소적 잘 정의된 이론을 향상시키며, 이전 결과를 확장한다.
• 초기 자료가 가중 $L^2$ 공간 $\Sigma$ 에 속할 조건 하에, $\mu = -1$ 인 비집중 INLS의 전역 해에 대한 감쇠 추정을 확립한다. 이 경우 $0 < \alpha < \alpha^{\star}$ 이다.
• 임계 및 초임계 영역에서 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 일 때, 비집중 INLS에 대해 가중 $L^2$ 공간 $\Sigma$ 내에서 산산각산을 증명한다. 여기서 $\alpha_{\star} = \frac{4-2b}{d}$ 이고, $d \geq 3$ 일 때 $\alpha^{\star} = \frac{4-2b}{d-2}$ 이다.
• 국소 이론과 가중 공간 내 감쇠 및 산산각산 결과를 조합하여 INLS의 장기 역학에 대한 이해를 확장한다.

제안 방법

• 특히 $d=2,3$ 에 대해 정밀한 추정을 사용하여 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 공간 내에서 국소적 잘 정의된 이론을 재검토함으로써, 과거의 결과를 개선한다.
• 비르발 항등식과 가중 에너지 추정을 활용하여, $|x|^{-b}$ 포텐셜의 구조와 방정식의 비집중 성격을 이용해 $\Sigma$ 내 전역 해의 감쇠 속도를 도출한다.
• 해를 스트리히르츠 유형 추정에 적합한 형태로 변환하기 위해 연산자 $H(t) = x + 2it\nabla$ 를 통한 가짜 등각 변환(pseudo-conformal transformation)을 도입한다.
• 변환된 변수 $w(t) = H(t)u(t)$ 에 대해 $L^2$ 기반 스트리히르츠 추정을 적용하여, 유한한 시간 간격에서 $\|Hu\|_{S(L^2,I)} < \infty$ 임을 보인다.
• 작은 시간 간격 $I_j$ 에 대해 $|I_j| < \epsilon$ 으로 분할하고, 귀납법과 $\epsilon$ 의 소형성에 기반해 $\|Hu\|_{S(L^2,I_j)}$ 의 성장률을 추정함으로써 해의 노름을 제어한다.
• 전체 실수선 $\mathbb{R}$ 에서 $\|Hu\|_{S(L^2,\mathbb{R})}$ 의 유계성과 질량 및 에너지의 보존 법칙을 조합하여, $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 일 때 $\Sigma$ 내에서 산산각산을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비집중 INLS에 대해 $d=2,3$ 에서 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 공간 내에서 기존 결과를 초월해 국소적 잘 정의된 이론을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 초기 자료가 $\Sigma$ 에 속할 때, $0 < \alpha < \alpha^{\star}$ 일 경우 비집중 INLS의 전역 해에 대해 어떤 감쇠 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ3 임계 및 초임계 영역에서 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 일 때, 비집중 INLS에 대해 가중 $L^2$ 공간 $\Sigma$ 내에서 산산각산이 성립하는가?
• RQ4 특이 포텐셜을 가진 INLS에 대해, 비르발 항등식과 가중 공간 내 스트리히르츠 추정이 어떻게 상호작용하여 산산각산 결과를 도출하는가?

주요 결과

• 차원 $d=2,3$ 에서 INLS에 대해 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 공간 내에서 향상된 국소적 잘 정의된 이론이 확립되었으며, 과거의 과자르의 결과를 확장한다.
• 초기 자료가 $\Sigma$ 에 속할 조건 하에, $\mu = -1$ 이고 $0 < \alpha < \alpha^{\star}$ 인 비집중 INLS의 전역 해는 비르발 유형 추정을 통해 감쇠 성질을 보인다.
• 해의 연산자 $H(t) = x + 2it\nabla$ 는 모든 슈뢰딩거 적합 쌍 $(p,q)$ 에 대해 $L^p_{\text{loc}}(\mathbb{R}, L^q(\mathbb{R}^d))$ 공간 내 함수로 해를 매핑하며, 이는 가중 노름 제어를 보장한다.
• 임계 및 초임계 영역에서 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 일 때, 비집중 INLS에 대해 가중 $L^2$ 공간 $\Sigma$ 내에서 산산각산이 증명된다. 여기서 $\alpha_{\star} = \frac{4-2b}{d}$ 이고, $d \geq 3$ 일 때 $\alpha^{\star} = \frac{4-2b}{d-2}$ 이며, $d=1,2$ 일 때는 $\alpha^{\star} = \infty$ 이다.
• 산산각산 결과는 $Hu(t)$ 의 $S(L^2)$ 노름이 $\mathbb{R}$ 전역에서 유계임과 질량 및 에너지 보존 법칙, $\|u(t)\|_{L^2}$ 와 $\|\nabla u(t)\|_{L^2}$ 의 감쇠 성질을 조합하여 도출된다.
• 분석은 산산각산 영역 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 가 $\Sigma$ 내에서 역학적으로 안정적이며, 폭발이나 최소 질량 집중 현상이 발생하지 않음을 확인한다.