[논문 리뷰] Scenario Aggregation using Binary Decision Diagrams for Stochastic Programs with Endogenous Uncertainty

Utz‐Uwe Haus, Carla Michini외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 15.

Reliability and Maintenance Optimization참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이차적 불확실성(stochastic programs)에서의 내생적 불확실성(endogenous uncertainty)을 이진결정다이어그램(BDDs)을 사용하여 압축된 시나리오 집합으로 모델링하는 새로운 방법을 제안한다. 시나리오 집합을 BDD로 인코딩함으로써 비선형적이고 비예측가능한 모델을 선형 인수분해를 통해 작은 혼합정수선형계획문(MILPs)으로 변환하며, 이는 스위치 네트워크 방해 및 신뢰성 최적화와 같은 문제들에서 문제 크기와 해법 시간을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

Modeling decision-dependent scenario probabilities in stochastic programs is difficult and typically leads to large and highly non-linear MINLPs that are very difficult to solve. In this paper, we develop a new approach to obtain a compact representation of the recourse function using a set of binary decision diagrams (BDDs) that encode a nested cover of the scenario set. The resulting BDDs can then be used to efficiently characterize the decision-dependent scenario probabilities by a set of linear inequalities, which essentially factorizes the probability distribution and thus allows to reformulate the entire problem as a small mixed-integer linear program. The approach is applicable to a large class of stochastic programs with multivariate binary scenario sets, such as stochastic network design, network reliability, or stochastic network interdiction problems. Computational results show that the BDD-based scenario representation reduces the problem size, and hence the computation time, significant compared to previous approaches.

연구 동기 및 목표

• 이차적 프로그램에서 의사결정에 따라 변화하는 시나리오 확률을 모델링하는 데 도전하는 것. 일반적으로 이는 크고 비선형적인 MINLP를 초래한다.
• 다변수 이진 시나리오 집합을 위한 재구조 함수의 압축되고 정확한 표현을 BDD를 사용해 개발하는 것.
• 비선형 항목을 피하기 위해 선형 부등식을 통해 의사결정에 따라 변화하는 시나리오 확률을 효율적으로 특성화하는 것.
• 내생적 불확실성을 갖는 복잡한 이차적 프로그램을 작은 혼합정수선형계획문(MILPs)으로 재구성하는 것.
• 실세계 문제들인 스위치 네트워크 방해 및 네트워크 신뢰성 최적화 문제에서 이 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 의사결정에 따라 변화하는 시나리오 확률의 구조를 반영하는 시나리오 집합의 중첩 커버를 인코딩하는 이진결정다이어그램(BDDs)의 집합을 구성하는 것.
• BDD를 사용해 시나리오 집합을 압축된 정확한 형태로 표현함으로써 모든 관련 결과와 확률를 유지하는 것.
• BDD의 구조에서 유도된 선형 부등식 시스템을 통해 의사결정에 대한 함수로 확률 분포를 모델링함으로써 선형 재구성 가능하게 하는 것.
• 재구조 함수의 단조성(예: 최단경로 길이 또는 최대유량)을 활용해 BDD가 근사 없이 모든 관련 시나리오 행동을 포괄하도록 보장하는 것.
• BDD 기반 재구성 기법을 적용해 원래의 비선형 이차적 프로그램을 작은 MILP로 변환하고, 표준 MIP 솔버로 해결할 수 있도록 하는 것.
• 최대유량 오рак불(lemon-1.3.1 라이브러리 기반)을 사용한 공동 생성 절차를 통해 흐름 값을 감소시키는 최소 간선 집합을 계산하고, BDD 구축을 위한 시나리오 열거를 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BDD는 내생적 불확실성을 갖는 이차적 프로그램에서 지수적으로 큰 시나리오 집합을 압축적으로 표현하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 BDD의 구조에서 유도된 선형 부등식을 통해 비선형 항목을 피하면서 의사결정에 따라 변화하는 시나리오 확률를 모델링할 수 있는가?
• RQ3 전통적인 MINLP나 샘플링 기반 접근법과 비교해 BDD 기반 재구성 방식이 문제 크기와 계산 시간을 크게 감소시키는가?
• RQ4 이 방법은 네트워크 방해 및 신뢰성 최적화와 같은 실세계 문제에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?
• RQ5 재생산 없이 다양한 방해 예산과 성공 확률에 대해 재구성된 MILP가 효율적으로 해결될 수 있는가?

주요 결과

• BDD 기반 시나리오 집합 압축은 이전 방법들과 비교해 문제 크기와 계산 시간을 크게 감소시켜 이전에는 해결이 불가능했던 사례를 정확하게 해결할 수 있게 한다.
• 이 방법은 내생적 불확실성을 갖는 이차적 프로그램을 비선형 항목이 포함된 곱셈 항목 없이 작은 혼합정수선형계획문(MILPs)으로 정확히 재구성할 수 있도록 한다.
• SNIP(IB) 기준 사례에서 이 방법은 재생산 없이 모든 방해 예산과 성공 확률 범위에서 정확한 재구성 문제를 해결할 수 있다.
• 이 형식은 네트워크 구조를 파rameter(예: 예산, 확률)와 분리하므로 파arameter 연구를 효율적으로 수행하고 MILP 모델의 재사용이 가능하다.
• 압축된 형식임에도 불구하고 현재의 MIP 솔버(CPLEX, Gurobi, FICO Xpress, SCIP)는 이 문제 구조를 해결하는 데 어려움을 겪고 있어 향후 작업으로 분해 기법의 적용 가능성이 제기된다.
• 이 방법은 다변수 이진 시나리오 집합을 갖는 문제들, 예를 들어 스위치 네트워크 설계, 신뢰성, 방해 문제 등 넓은 범위의 문제들에 적용 가능하다.