[논문 리뷰] Scenario-based Stochastic MPC for systems with uncertain dynamics

Francesco Micheli, John Lygeros|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 불확실한 동역학을 가진 선형 시스템을 위한 시나리오 기반 스토하스틱 모델 예측 제어(SMPC) 프레임워크를 제안한다. 이 방법은 샘플링된 시스템 트레이젝터리를 사용하여 모델 불확실성을 확률적으로 구속한다. 확보된 표본 수에 기반한 시나리오 수에 대한 유한 표본 상한을 유도함으로써, 치수 분포나 외란 분포에 대한 명시적 지식 없이도 분포 자유로운 강건 제어를 가능하게 하며, 표준 SMPC에 비해 제약 위반 빈도가 감소한 시뮬레이션 사례를 통해 검증된다.

ABSTRACT

Model Predictive Control is an extremely effective control method for systems with input and state constraints. Model Predictive Control performance heavily depends on the accuracy of the open-loop prediction. For systems with uncertainty this in turn depends on the information that is available about the properties of the model and disturbance uncertainties. Here we are interested in situations where such information is only available through realizations of the system trajectories. We propose a general scenario-based optimization framework for stochastic control of a linear system affected by additive disturbance, when the dynamics are only approximately known. The main contribution is in the derivation of an upper bound on the number of scenarios required to provide probabilistic guarantees on the quality of the solution to the deterministic scenario-based finite horizon optimal control problem. We provide a theoretical analysis of the sample complexity of the proposed method and demonstrate its performance on a simple simulation example. Since the proposed approach leverages sampling, it does not rely on the explicit knowledge of the model or disturbance distributions, making it applicable in a wide variety of contexts.

연구 동기 및 목표

• 오직 샘플링된 트레이젝터리만 이용 가능한 선형 정적계에서 동역학의 불확실성을 다루는 도전 과제를 해결한다.
• 샘플링을 통한 체계적 동역학의 지식 불확실성의 명시적 고려를 통해 스토하스틱 MPC의 보수성 감소를 도모한다.
• 외란 또는 매개변수 분포에 대한 명시적 지식 없이도 제约束 만족에 대한 확률적 보장을 제공한다.
• 오직 i.i.d. 표본만을 사용하여 모델 불확실성 하에서 강건성과 타당성을 보장하는 유한 표본 프레임워크를 개발한다.
• 모델 분포가 알려지지 않거나 복잡한 학습 기반 제어 환경에서 SMPC의 적용 가능성을 보장한다.

제안 방법

• 불확실한 동역학을 가진 선형 시스템에 대해 추가 외란과 함께 매개변수 ϑ ∼ Pϑ로 매개변수화된 스토하스틱 MPC 문제를 설정한다.
• 모델 불확실성 하에서의 제약 위반 확률을 제어하기 위해 시나리오 접근법을 적용하여, 알려지지 않은 매개변수 분포 Pϑ와 외란 분포 Pη의 i.i.d. 표본을 사용해 확률적 제약 조건을 결정적 최적화 문제로 재구성한다.
• 목표 위반 확률 ε에 대해 필요한 시나리오 수의 상한을 유도하며, 이는 불확실성 공간의 차원과 신뢰 수준 β에 기반한다.
• 시나리오 프로그램이 타당하지 않을 경우에도 최적화 문제의 타당성을 확보하기 위해 슬랙 변수를 사용하며, 제약 위반을 억제하기 위해 고가중치를 적용한다.
• 계산의 타당성과 함께 닫힌 루프 성능을 향상시키기 위해 외란에 의존하는 피드백 정책을 사용한다.
• 이론적 분석에서 모델 불확실성 하에서 제약 위반 확률의 상한을 구하기 위해 마르코프 부등식을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 동역학이 불확실할 경우, 시스템 트레이젝터리 샘플 수가 얼마나 되야 스토하스틱 MPC에서 제약 만족을 확률적으로 보장할 수 있는가?
• RQ2 모델 불확실성을 명시적으로 처리하기 위해 시나리오 기반 접근법을 지식이 없는 확률 분포를 가정하지 않고 효과적으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 모델 불확실성을 명시적으로 샘플링함으로써 표준 SMPC가 모델 불확실성을 忽略하는 것에 비해 MPC 예측의 신뢰성은 어떻게 향상되는가?
• RQ4 시나리오 수를 증가시킬 경우, 닫힌 루프 성능(비용)과 제약 위반 빈도 사이의 상충 관계는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 제시된 방법이 외란 또는 매개변수 분포에 대한 명시적 지식 없이도 닫힌 루프 제어에서 타당성과 강건성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 UD-SMPC 방법은 LS-SMPC 및 GT-SMPC보다 낮은 경험적 위반 확률을 달성하며, 모델 불확실성을 고려하지 않은 12%의 LS-SMPC 실현값이 목표 위반 수준 ε₁ = 0.1을 초과한다.
• 목표 위반 확률 ε₁ = 0.1을 위해 UD-SMPC는 1776개의 시나리오가 필요하지만, LS-SMPC는 단지 523개로, 체계적 동역학 불확실성을 명시적으로 모델링함으로써 더 높은 표본 복잡도를 유도한다.
• 닫힌 루프 시뮬레이션 결과, 시나리오 수를 증가시킬수록 제약 위반 수가 감소하며, 특히 모든 N 값에서 낮은 위반 빈도를 유지하는 UD-SMPC에서 두드러진다.
• 더 많은 시나리오로 인해 비용이 증가하지만, UD-SMPC는 LS-SMPC에 비해 비용과 위반 빈도 사이의 더 우수한 트레이드오���을 달성한다.
• 고가중치(10⁵)를 가진 슬랙 변수의 사용은 시나리오 프로그램이 타당하지 않은 경우에도 최적화에서의 타당성과 제약 만족을 효과적으로 방지한다.
• 이론적 분석은 목표 위반 확률를 달성하기 위해 필요한 시나리오 수에 대한 유한 표본 상한을 제공하며, 분포 가정 없이 데이터 기반 및 학습 기반 제어 환경에 적용 가능한 방법을 제공한다.