[논문 리뷰] Schanuel's conjecture and algebraic powers z^w and w^z with z and w transcendental

Diego Marques, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 29.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

스하누엘 추측을 가정할 경우, 이 논문은 $ z $와 $ w $가 0이나 1이 아닌 초월 복소수이고, $ z^w $와 $ w^z $가 모두代수적일 때, $ z $와 $ w $는 둘 다 초월수여야 하며, 하나는 대수적이고 다른 하나는 초월수일 수 없다는 것을 증명한다. 주요 결과로는 $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $, $ i^{i^i} $, $ i^{e^\pi} $와 같은 특정 반복 거듭제곱의 초월성과, 대수적 $ \alpha \neq 0,1 $과 무리수 $ z $에 대해 $ \alpha^{\alpha^z} = z $를 만족하는 해가 존재할 경우 $ z $는 반드시 초월수여야 한다는 증명이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We give a brief history of transcendental number theory, including Schanuel's conjecture (S). Assuming (S), we prove that if z and w are complex numbers, not 0 or 1, with z^w and w^z algebraic, then z and w are either both rational or both transcendental. A corollary is that if (S) is true, then we can find four distinct transcendental positive real numbers x, y, s, t such that the three numbers x^y=/=y^x and s^t=t^s are all integers. Another application (possibly known) is that (S) implies the transcendence of the numbers sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2), i^i^i, and i^e^pi. We also prove that if (S) holds and a^a^z=z, where a=/=0 is algebraic and z is irrational, then z is transcendental.

연구 동기 및 목표

• 복소수 거듭제곱 $ z^w $와 $ w^z $의 산술적 성격을 $ z $와 $ w $가 모두 초월수일 때 조사하는 것.
• 스하누엘 추측을 가정할 경우, $ z $와 $ w $가 초월수이고 $ z^w $, $ w^z $가 모두 대수적일 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 반복 지수 표현인 $ \alpha^{\alpha^z} = z $와 같은 식에서 $ z $의 초월성을 이끌어내는 조건을 설정하는 것.
• 스하누엘 추측을 활용하여 $ e^\pi $, $ i^i $, $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $와 같은 수의 초월성에 대한 기존 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 스하누엘 추측(S)을 가정한다. 이는 $ \alpha_1, \dots, \alpha_n $이 $ \mathbb{Q} $ 위에서 일차독립일 경우, $ \alpha_1, \dots, \alpha_n, e^{\alpha_1}, \dots, e^{\alpha_n} $가 최소한 $ n $개의 대수적 독립 수를 포함한다는 것이다.
• 대수적 수와 초월수 간의 곱셈 독립성을 이용하여 로그와 반복 로그의 대수적 독립성을 도출한다.
• 로그 변환 $ w = \log \alpha / \log z $를 적용하여 $ z^w $와 $ w^z $를 로그 표현식과 연결하고, 그들의 대수적 독립성을 분석한다.
• 체의 초월도(trdeg)를 $ \mathbb{Q} $ 위에서 $ \alpha, \beta, z, \log \alpha, \log \beta, \log z, \log \log \alpha, \log \log \beta, \log \log z $를 포함하는 집합의 대수적 독립성을 측정하는 데 사용한다.
• 대수적 수로 가정한 $ z $와 초월수로 가정한 $ w $일 때, $ z^w $와 $ w^z $가 모두 대수적이라면 로그 항목 간의 대수적 독립성에서 모순가능성을 유도한다.
• 항등식 $ z^{-1} \log \beta = \log \log \alpha - \log \log z $를 사용하여, (S) 하에서 기대되는 대수적 독립성과의 불일치를 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $ z $와 $ w $가 초월수이고 $ z^w $, $ w^z $가 대수적이라면, 둘 중 하나는 대수적일 수 있고 다른 하나는 초월수일 수 있는가?
• RQ2 스하누엘 추측은 $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $, $ i^{i^i} $, $ i^{e^\pi} $와 같은 특정 반복 지수 상수의 초월성을 암시하는가?
• RQ3 대수적 $ \alpha \neq 0,1 $과 무리수 $ z $에 대해 $ \alpha^{\alpha^z} = z $가 대수적 해 $ z $를 가질 수 있는가?
• RQ4 스하누엘 추측은 $ z^w $와 $ w^z $를 포함하는 로그 표현식의 곱셈적 및 대수적 독립성에 어떤 제약을 둔다?

주요 결과

• 만약 $ z $와 $ w $가 초월수이고 $ z^w $, $ w^z $가 대수적이라면, $ z $와 $ w $는 둘 다 초월수여야 하며, 스하누엘 추측 하에서 대수적-초월수 조합은 가능하지 않다.
• 스하누엘 추측은 $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $, $ i^{i^i} $, $ i^{e^\pi} $의 초월성을 암시한다. 이 표현들은 (S) 하에서 대수적 독립성과 모순을 일으키기 때문이다.
• 스하누엘 추측을 가정할 경우, $ x^y \neq y^x $이고 $ s^t = t^s $가 모두 정수인 초월수 양의 실수 $ x, y, s \neq t $가 존재한다.
• 만약 $ \alpha \neq 0 $이 대수적이고 $ \alpha^{\alpha^z} = z $이며 $ z $가 무리수이면, 스하누엘 추측 하에서 $ z $는 반드시 초월수여야 한다.
• 이 증명은 집합 $ \{ \log \alpha, z \log \alpha, \alpha^z \log \alpha \} $ 가 $ \mathbb{Q} $ 위에서 일차독립임을 보여, (S) 하에서 초월도의 모순을 이끌어낸다.
• 모순은 $ z $를 대수적, $ \alpha^z $를 초월수로 가정할 때 발생하며, 이 경우 초월도는 최소 3이 되지만, 체 확장의 차수는 최대 2이므로 스하누엘 추측에 위배된다.