[논문 리뷰] Scheduling Meets Fixed-Parameter Tractability

Matthias Mnich, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 16.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최초로 고정 매개변수 가능(FPT) 알고리즘을 제안하는 기본적인 스케줄링 문제들에 대해 다루며, 최대 완료시간 최소화, 작업별 비용 함수가 있는 스케줄링(예: 가중 흐름 시간), 그리고 거부가 가능한 스케줄링을 포함한다. 서로 다른 처리 시간 수나 거부 비용 수를 핵심 매개변수로 식별함으로써 저자들은 이러한 문제들을 고정 차원의 정수계획법으로 줄여내어, 일반적으로 FPT 접근법을 방해하는 수치 입력 값이 존재하더라도 FPT 알고리즘을 가능하게 한다. 주요 기여는 기존의 NP-난이도 스케줄링 문제들에 대해 새로운 매개변수화 방식으로 FPT 알고리즘을 확립한 것으로, 이 매개변수들이 얼마나 타이트한지 보여주는 W[1]-난이도 결과를 함께 제시한다.

ABSTRACT

Fixed-parameter tractability analysis and scheduling are two core domains of combinatorial optimization which led to deep understanding of many important algorithmic questions. However, even though fixed-parameter algorithms are appealing for many reasons, no such algorithms are known for many fundamental scheduling problems. In this paper we present the first fixed-parameter algorithms for classical scheduling problems such as makespan minimization, scheduling with job-dependent cost functions-one important example being weighted flow time-and scheduling with rejection. To this end, we identify crucial parameters that determine the problems' complexity. In particular, we manage to cope with the problem complexity stemming from numeric input values, such as job processing times, which is usually a core bottleneck in the design of fixed-parameter algorithms. We complement our algorithms with W[1]-hardness results showing that for smaller sets of parameters the respective problems do not allow FPT-algorithms. In particular, our positive and negative results for scheduling with rejection explore a research direction proposed by Dániel Marx. We hope that our contribution yields a new and fresh perspective on scheduling and fixed-parameter algorithms and will lead to further fruitful interdisciplinary research connecting these two areas.

연구 동기 및 목표

• 기존의 중요하고 실용적인 가치가 있는 스케줄링 문제들에 대해 고정 매개변수 가능(FPT) 알고리즘이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 처리 시간, 가중치, 거부 비용 등 수치 입력 값으로 인해 일반적으로 FPT 알고리즘이 불가능해지는 도전 과제를 극복하기 위해.
• 처리 시간 수나 거부 비용 수와 같은 최소한의 의미 있는 매개변수를 식별하여 기본 스케줄링 문제들이 FPT가 되도록 하기 위해.
• 선택된 매개변수의 타당성을 입증하기 위해 FPT 성과 W[1]-난이도 하한선을 동시에 확립하기 위해.
• 스케줄링 이론과 고정 매개변수 가능성의 새로운 융합 연구 분야를 열기 위해.

제안 방법

• 동일한 기계에서 최대 완료시간 최소화 문제에 대해 저자들은 같은 길이를 가진 작업들이 기계들 사이에 거의 균등하게 분배될 수 있음을 보여주며, 이는 문제를 고정 매개변수 형태로 줄이는 전처리 단계를 가능하게 한다.
• 남은 스케줄링 결정은 각 크기의 작업이 각 기계에 할당된 수를 나타내는 변수들을 포함하는 고정 차원의 정수계획법으로 모델링된다.
• 비동일 기계의 경우, 매개변수화는 기계 수와 서로 다른 처리 시간 수를 포함하며, Hall의 정리에서 유도된 제약 조건을 통해 타당한 작업 할당을 보장한다.
• 지수적으로 많은 부분집합 검사를 대체하기 위해 압축된 Hall 유형의 제약 조건을 사용하여 효율적인 FPT 알고리즘을 가능하게 한다.
• 거부가 가능한 스케줄링의 경우, 저자들은 서로 다른 거부 비용 수를 기반으로 하는 매개변수를 사용하고 문제를 구조화된 이윤 함수를 가진 배낭 문제의 변형으로 줄여낸다.
• 이 방법은 일반 스케줄링 문제(GSP)로 확장되며, 작업 인덱스를 이진 코드로 표현한 3차원 매칭 문제로의 축소를 통해 처리 시간이 1 또는 3으로 제한된 경우에도 NP-난이도임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 처리 시간 수나 작업 가중치 수로 매개변수화할 경우, 최대 완료시간 최소화나 가중 흐름 시간과 같은 고전적 스케줄링 문제들이 고정 매개변수 가능 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 수치 입력 값이 존재하더라도 거부 비용 수로 매개변수화할 경우, 거부가 가능한 스케줄링 문제는 FPT가 될 수 있는가?
• RQ3 스케줄링 문제에 대해 FPT 알고리즘을 가능하게 하는 최소한의 매개변수 집합은 무엇이며, 더 작은 매개변수 집합이 W[1]-난이도가 되는지 증명할 수 있는가?
• RQ4 처리 시간 수가 비동일 기계 스케줄링 문제에 대해 FPT 알고리즘을 달성하기 위한 충분한 매개변수로 작용할 수 있는가?
• RQ5 처리 시간이 오직 두 값(1과 3)으로 제한된 경우, 일반 스케줄링 문제(GSP)는 비선점 설정에서도 여전히 NP-난이도인가?

주요 결과

• 논문은 동일 기계에서 처리 시간 수로 매개변수화된 최대 완료시간 최소화 문제에 대해 최초로 FPT 알고리즘을 제시하며, 실행 시간은 f(k)·n^O(1)이다.
• 비동일 기계의 경우, 기계 수와 서로 다른 처리 시간 수로 매개변수화할 때 문제 R||C_max는 고정 차원 정수계획법 공식화를 통해 FPT임을 증명한다.
• 거부가 가능한 스케줄링 문제는 서로 다른 거부 비용 수로 매개변수화할 경우 FPT이며, 이는 구조화된 배낭 유사 문제로의 축소를 통해 가능하다.
• 저자들은 더 작은 매개변수 집합으로 매개변수화할 경우 모든 다루어진 문제들이 W[1]-난이도임을 증명하여 선택된 매개변수의 타당성을 입증한다.
• 일반 스케줄링 문제(GSP)는 모든 작업의 처리 시간이 1 또는 3으로 제한된 경우에도 여전히 NP-난이도임을 입증하여 제한적이지만 자연스러운 경우에 대해 강력한 난이도 결과를 확립한다.
• 논문은 표준 형태의 해(선점 불가, 모든 작업 스케줄링)를 사용하여 문제를 매개변수화된 설정으로 줄일 수 있음을 증명하며, 이는 선점 및 비선점 변형 모두에 대해 FPT 알고리즘 가능성을 보장한다.