[논문 리뷰] Scheduling of unit-length jobs with cubic incompatibility graphs on three uniform machines

Hanna Furmańczyk, Marek Kubale|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 14.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 각 작업이 정확히 세 개의 다른 작업과 충돌하는 삼차 불일치 그래프를 가진 세 대의 균일한 기계에서 단위 길이 작업을 스케줄링하는 문제를 다룬다. 2색성 그래프에 대해 O(n²) 시간 알고리즘을 제안하고, 3색성 그래프에 대해 O(n³) 시간 4/3-근사 알고리즘을 제시하며, 이는 3s₁/4 ≤ s₂ = s₃ 조건에서 거의 확실히 최적임을 보인다.

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of scheduling $n$ identical jobs on 3 uniform machines with speeds $s_1, s_2,$ and $s_3$ to minimize the schedule length. We assume that jobs are subjected to some kind of mutual exclusion constraints, modeled by a cubic incompatibility graph. We show that if the graph is 2-chromatic then the problem can be solved in $O(n^2)$ time. If the graph is 3-chromatic, the problem becomes NP-hard even if $s_1>s_2=s_3$. However, in this case there exists a $4/3$-approximation algorithm running in $O(n^3)$ time. Moreover, this algorithm solves the problem almost surely to optimality if $3s_1/4 \leq s_2 = s_3$.

연구 동기 및 목표

• 서로 배제 제약 조건이 삼차 불일치 그래프로 모델링된 세 대의 균일한 기계에서 n개의 동일한 단위 길이 작업의 스케줄링 문제를 다루기.
• 불일치 그래프의 색수에 따라 문제의 계산 복잡도를 규명하기.
• 색수 2 및 3인 삼차 그래프에 대해 효율적인 알고리즘과 성능 보장을 개발하기.
• 제안된 근사 알고리즘이 고도의 확률로 최적 해를 달성할 수 있는 조건을 설정하기.
• 모델을 분리된 삼차 그래프로 확장하고, 이러한 경우의 최적 스케줄링 가능성을 분석하기.

제안 방법

• 2색성 그래프의 경우, 삼차 그래프의 균형 잡힌 2색칠을 기반으로 하는 다항식 시간 알고리즘을 사용하며, 이러한 그래프는 이분 그래프이자 균형 잡힌 분할을 가짐을 활용한다.
• 3색성 그래프의 경우, 먼저 탐욕적 접근을 통해 큰 독립 집합을 찾은 후, 정점 교환 절차를 통해 이를 준균형 색칠로 변환하는 4/3-근사 알고리즘을 적용한다.
• FKR 알고리즘(Furmańczyk-Kubale-Radziszowski)을 사용해 반복적으로 색칠을 개선하며, 독립 집합 간의 정점 교환을 통해 부하 균형을 확보한다.
• 기계 속도 s₁, s₂, s₃를 사용해 스케줄 길이를 분석하며, C_max = max{P_i(I_i)}를 최소화하는 것이 목표이며, 여기서 P_i(I_i) = |I_i|/s_i이다.
• 독립 수의 경계 및 균형 잡힌 색칠 성질에서 유도된 부등식을 활용해 알고리즘의 스케줄 길이와 최적 C_max* 간의 성능 경계를 설정한다.
• Frieze와 Suen의 랜덤 삼차 그래프에서 큰 독립 집합에 대한 확률적 결과를 활용해, 특정 속도 비율 조건 하에서 거의 확실히 최적성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불일치 그래프가 2색성일 경우, 단위 길이 작업과 삼차 불일치 그래프를 가진 문제를 다항식 시간 내에 최적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 불일치 그래프가 3색성일 경우 문제의 계산 복잡도는 어떻게 되며, 어떤 조건에서 NP-난이도가 되는가?
• RQ3 3색성 삼차 그래프에 대해 3대의 균일한 기계에서 4/3-근사 알고리즘을 설계할 수 있으며, 그 시간 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 어떤 속도 조건에서 근사 알고리즘이 고도의 확률로 최적 해를 달성하는가?
• RQ5 알고리즘은 어떻게 분리된 삼차 그래프를 다룰 수 있으며, 이러한 경우의 계산 복잡도는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 불일치 그래프가 2색성일 경우, 이는 이분 그래프이므로 균형 잡힌 2색칠이 가능하므로 O(n²) 시간 내에 문제를 해결할 수 있다.
• 그래프가 3색성일 경우, 조건이 s₁ > s₂ = s₃이어도 삼차 그래프에서의 균형 잡힌 3색칠의 본질적 복잡도로 인해 문제는 NP-난이도가 된다.
• 3색성 그래프에 대해 O(n³) 시간 4/3-근사 알고리즘을 제안하며, 이는 최적 스케줄 길이의 4/3 이내의 해를 보장한다.
• 3s₁/4 ≤ s₂ = s₃ 조건이 성립할 경우, 거의 모든 삼차 그래프에서 큰 독립 집합(≥0.432n)을 찾을 수 있으므로 알고리즘이 고도의 확률로 최적 해를 반환한다.
• s₁ > 0이면 속도 비율에 관계없이 독립 수와 균형 잡힌 색칠 경계를 통해 알고리즘 스케줄 길이 대비 최적 스케줄 길이 비율을 유한하게 제한함으로써 4/3의 성능 보장이 유지된다.
• 알고리즘은 분리된 삼차 그래프로 확장 가능하다: 2색성의 경우 알고리즘 1, 3색성의 경우 알고리즘 2를 사용하며, 각각 O(n²) 및 O(n³) 시간에 실행된다.