[논문 리뷰] Scheduling to Minimize Total Weighted Completion Time via Time-Indexed Linear Programming Relaxations

Shi Li|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 25.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간색인 선형계획법 타월화를 사용하여 총 가중 완료 시간을 최소화하는 스케줄링 문제에 대해 향상된 근사 알고리즘을 제시한다. 비동일한 기계 환경에서 (1.5−c)-근사치를 달성하며, 최근의 돌풍 같은 결과와 동일한 성능을 내지만 더 단순하고 자연스러운 선형계획법 타월화를 통해 달성한다. 이 방법은 분수 스케줄링을 활용하여 분석을 정교화하고, 순서 제약이 있는 모델 및 관련 기계 모델에서 오랫동안 지속된 근사 장벽을 극복한다.

ABSTRACT

We study approximation algorithms for scheduling problems with the objective of minimizing total weighted completion time, under identical and related machine models with job precedence constraints. We give algorithms that improve upon many previous 15 to 20-year-old state-of-art results. A major theme in these results is the use of time-indexed linear programming relaxations. These are natural relaxations for their respective problems, but surprisingly are not studied in the literature. We also consider the scheduling problem of minimizing total weighted completion time on unrelated machines. The recent breakthrough result of [Bansal-Srinivasan-Svensson, STOC 2016] gave a $(1.5-c)$-approximation for the problem, based on some lift-and-project SDP relaxation. Our main result is that a $(1.5 - c)$-approximation can also be achieved using a natural and considerably simpler time-indexed LP relaxation for the problem. We hope this relaxation can provide new insights into the problem.

연구 동기 및 목표

• 다양한 기계 모델 하에서 총 가중 완료 시간 목표를 가진 스케줄링 문제에 대해 향상된 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 순서 제약이 있는 스케줄링 문제와 비균일한 작업 크기를 가진 문제에서 오랫동안 지속된 근사 성능 향상의 부재를 해결하는 것.
• 이전에 탐색이 부족했던 시간색인 선형계획법 타월화가 강력한 근사 보장을 제공할 수 있음을 보여주는 것.
• 이전에는 복잡한 리프트-앤드-프로젝션 SDP 타월화를 통해만 달성된 비동일 기계 환경에서의 (1.5−c)-근사치를 자연스러운 선형계획법 타월화를 통해 동일하거나 초월하는 것.
• 더 단순하고 직관적인 선형계획법 공식화를 통해 가중 완료 시간 스케줄링의 구조에 대한 새로운 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 작업이 기계와 시간 슬롯에 걸쳐 분수 처리 시간을 할당하는 시간색인 선형계획법 타월화를 수립하는 것.
• 분수 해를 기반으로 작업 중심의 리스트 스케줄링 알고리즘을 구동하며, $ C_j - p_j/2 $ 값에 따라 작업의 우선순위를 정하는 것.
• 기대 완료 시간을 제한하기 위해 확률적 분석을 적용한 랜덤화 라운딩 기법을 사용하는 것.
• 작업 간의 부정적 상관관계를 도입하여 스케줄링 충돌과 지연의 확률을 분석하는 것.
• 다양한 작업 크기의 기여도를 제한하기 위해 간격 분해와 기하학적 그룹화(예: $ 2^a $-레벨 간격)를 사용하는 것.
• 기계별 이벤트를 조건부 제거하여 전역 기대 완료 시간 제약을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간색인 선형계획법 타월화는 기존의 총 가중 완료 시간 스케줄링 근사 알고리즘보다 우월하거나 단순화할 수 있는가?
• RQ2 복잡한 SDP 방법 대신 자연스러운 선형계획법 타월화를 통해 비동일 기계 환경에서 (1.5−c)-근사치를 달성할 수 있는가?
• RQ3 분수 스케줄링 해를 어떻게 활용하여 기존 근사 알고리즘의 분석을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 순서 제약은 더 나은 근사 비율을 제한하거나 가능하게 하는가?
• RQ5 근사 보장을 유지하면서 초다항 시간 범위를 효율적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 비동일 기계 환경에서 시간색인 선형계획법 타월화를 사용하여 (1.5−c)-근사치 알고리즘을 달성하였으며, 이는 이전에 더 복잡한 SDP 접근 방식을 통해 달성된 최고 성능과 동일하다.
• 시간색인 선형계획법 타월화가 강력하고도 아직 활용이 부족한 것으로 밝혀졌으며, 리프트-앤드-프로젝션 SDP 타월화의 더 단순한 대안을 제공한다.
• 순서 제약이 있는 동일 기계 환경에서는 Hall 등이 제시한 7-근사치와 Munier 등이 제시한 4-근사치를 초월하는 성능을 달성하지만, 정확한 신규 비율은 명시적으로 기재되지 않았다.
• 분석을 통해 분수 해가 이전 알고리즘의 느슨한 하한을 식별하고 수정함으로써 더 탴정한 성능 보장을 이끌어내는 것으로 드러났다.
• 기존 연구의 기법을 적응시켜 초다항 시간 범위를 효율적으로 처리함으로써 다항 시간 내에 해를 구할 수 있도록 보장하였다.
• 각 작업의 기대 완료 시간은 $ (1.5 - 1/6000)( ext{LP 완료 시간}) $ 이하로 제한되며, 이는 $ (1.5 - 1/6000) $-근사치를 증명한다.